Pierwiastki kongruencji

[KubaG1987]

Znaleźć wszystkie pierwiastki kongruencji:
8x=100(mod30)

[robert9000]

chyba tu chodzi o przystawanie, nie wiem jak sie daje 3 kreski, wiec pisze
czyli \(\displaystyle{ 8x \equiv 10(mod30)}\)
trzeba poszukać takich liczb, że 8x daje na końcu 0
więc:

1)\(\displaystyle{ x \equiv 0(mod30) 8x \equiv 0(mod30)}\)nie pasuje

2)\(\displaystyle{ x \equiv 5(mod30) 8x \equiv 40(mod30) \equiv 10(mod30)}\)pasuje

3)\(\displaystyle{ x \equiv 10(mod30) .......80(mod30) \equiv 20(mod30)}\)nie

4)\(\displaystyle{ x \equiv 15......... ...........120(mod30) \equiv 0(mod30)}\)nie

5)\(\displaystyle{ x \equiv 20.......... ..........160(mod30) \equiv 10(mod30)}\) pasuje

6)\(\displaystyle{ x \equiv 25............. ......200(mod30) \equiv 20(mod30)}\)nie

czyli \(\displaystyle{ x \equiv 5(mod30) x \equiv 20(mod30)}\)

powinno być dobrze;)

Kod: Zaznacz cały

[tex]equiv[/tex]

Kasia[/color]

[bosz]

Dobrze..

a mozna tez tak:

30 = 2*3*5 (2,3 i 5 sa wzglednie pierwsze)
zeby liczba dzielila sie przez 30 musi dzielic sie przez 3, przez 2 i przez 5 - i na odwrot
jsli sie przez te liczby dzieli to dzieli sie tez przez 30..

Mamy wiec uklad rownan

\(\displaystyle{ 8*x\equiv100(mod2)}\)
\(\displaystyle{ 8*x\equiv100(mod3)}\)
\(\displaystyle{ 8*x\equiv100(mod5)}\)


skad wynika ze:

\(\displaystyle{ 0*x\equiv0(mod2)}\)
\(\displaystyle{ 2*x\equiv1(mod3)}\)
\(\displaystyle{ 3*x\equiv0(mod5)}\)

pierwsze jest spelnione zawsze.
z trzeciego wynika ze liczba jest postaci \(\displaystyle{ x=5*t}\)

gdy wstawimy to do drugiego otrzymamy

\(\displaystyle{ 2*5*t\equiv1(mod3)}\)

co jest rownowazne
\(\displaystyle{ 1*t\equiv1(mod3)}\)

a wiec t jest postaci
\(\displaystyle{ t = 1 + k*3}\)

co po podstawieniu daje:

\(\displaystyle{ x=5*(1 + k*3) = 5+ k*15}\)


jest to zgodne z poprzednim rozwiazaniem bo

dla k=0 x=5
dla k = 1 x=20