Dla jakich "p" dane liczby są pierwsze

[kluczyk]

Wyznacz wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ p}\), dla których liczby \(\displaystyle{ p^{5}+p+1}\) i \(\displaystyle{ p^{11}+p+1}\) są pierwsze.

[Rogal]

Wpierw sprawdzamy, że p = 1 nam pasuje. Następnie zauważmy, że jeśli obie liczby są pierwsze, to ich różnica jest parzysta, czyli p^6 jest parzyste, a ponieważ p jest naturalne, to p musiałoby być 2. Ale ręczny rachunek pozwala stwierdzić, że pierwsza z liczb nie będzie pierwsza. Czyli byłoby tylko p = 1.
Nie wiem, coś mi się to za proste wydaje, chyba coś zgubiłem : )

[bosa_Nike]

Robiłam tak: \(\displaystyle{ p^5+p+1=\left(p^2+p+1\right)\cdot\left(p^3-p^2+1\right)\ \ p^3-p^2+1=1\ \ p=1}\).

[robert9000]

Rogal masz wieeeeeeelki błąd tylko;)
\(\displaystyle{ p^{11}-p^{5}=p^{6}}\) za chiny się nię nie zgodze;]
\(\displaystyle{ p^{6} p^{5}-p^{5}=p^{5}(p^{6}-1)}\)
wykładniki potęg się odejmuje przy dzieleniu;)

[Rogal]

Rotfl. W sumie to już nic więcej nie powinienem pisać, ale post by był za krótki. Więc rotfl : )