witam, jak wykazac, ze liczba
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt[3]{2}}\)
jest niewymierna
wykazac, ze liczba jest niewymierna
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
wykazac, ze liczba jest niewymierna
Gdyby dla \(\displaystyle{ q \mathbb{Q}}\) było:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt[3]{2}= q}\)
to byłoby kolejno:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-q = \sqrt[3]{2} \\
ft( \sqrt{2}-q\right)^3 = 2 \\
2\sqrt{2} - 6q +3\sqrt{2}q^2 - q^3 = 2 \\
\sqrt{2}=\frac{2+6q+q^3}{2+3q^2}}\)
czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) byłoby liczbą wymierną. Tak jednak nie jest, o czym wiedziano już w starożytności (nawiasem mówiąc odkrycie tego przyczyniło się do rozpadu Związku Pitagorejskiego) - dowód tego faktu jest prosty.
Q.
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt[3]{2}= q}\)
to byłoby kolejno:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-q = \sqrt[3]{2} \\
ft( \sqrt{2}-q\right)^3 = 2 \\
2\sqrt{2} - 6q +3\sqrt{2}q^2 - q^3 = 2 \\
\sqrt{2}=\frac{2+6q+q^3}{2+3q^2}}\)
czyli \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) byłoby liczbą wymierną. Tak jednak nie jest, o czym wiedziano już w starożytności (nawiasem mówiąc odkrycie tego przyczyniło się do rozpadu Związku Pitagorejskiego) - dowód tego faktu jest prosty.
Q.