Równanie

[Efendi]

Jest takie równanie: \(\displaystyle{ 5^{x}=1+2^{y}}\) w liczbach naturalnych. Mam takie pytanie - czy można je rozwiązać korzystając z tego, że funkcja wykładnicza jest ściśle rosnąca? Czy można wtedy wnioskować, że skoro podstawy są różne, to będzie tylko jeden punkt przecięcia krzywych wykładniczych? Czy można to jakoś zrobić w ten sposób jeśli x,y są rzeczywiste?

[DEXiu]

Nie można z tego skorzystać, gdyż mamy różne zmienne - gdyby w obu wykładnikach był x, to wówczas dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{N}}\) nadal nie mielibyśmy pewności, czy istnieje choć jedno rozwiązanie (acz gdyby istniało, to byłoby oczywiście jedyne), a dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\) na pewno istniałoby dokładnie jedno rozwiązanie. Niestety mamy różne zmienne, więc nie tędy droga Natomiast jeśli \(\displaystyle{ x,y\in\mathbb{R}}\), to wówczas dla każdego \(\displaystyle{ x>0}\) istniałoby dokładnie jedno \(\displaystyle{ y\in\mathbb{R}}\) spełniające to równanie (z ciągłości funkcji wykładniczej i różnego tempa wzrostu obu krzywych )

[Sylwek]

No to w takim razie należy jakoś to rozwiązać, przekształcamy na \(\displaystyle{ 5^x - 1 =2^y}\) i:

a) \(\displaystyle{ x=1}\) - wtedy oczywiście \(\displaystyle{ y=2}\)
b) \(\displaystyle{ x=2k+1 \ \ k qslant 1}\), wtedy lewą stronę można przedstawić przez wzór skróconego mnożenia jako:
\(\displaystyle{ L=5^x-1=(5-1)(5^{x-1} + 5^{x-2}+ \ldots + 1)}\)
i wystarczy zauważyć, że wynik działań w drugim nawiasie jest liczbą nieparzystą - sprzeczność, bo po prawej jest liczba parzysta
c) \(\displaystyle{ x=2k \ \ k qslant 1}\), wtedy też używamy wzorów skróconego mnożenia, tym razem: \(\displaystyle{ 5^x - 1 = (5^{\frac{x}{2}} - 1)( 5^{\frac{x}{2}}+1)}\), łatwo zauważyć, że drugi nawias jest niepodzielny przez 4, a jest liczbą większą od dwóch - zatem ma w swoim rozkładzie kanonicznym na czynniki pierwsze liczbę nieparzystą, a prawa strona takowej liczby nie posiada - sprzeczność.