Dla dowolnych liczb a,b,c,d ustalić i udowodnić znak dla nierówności pomiędzy \(\displaystyle{ \frac{a+b+c+d}{4}}\) a \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}{4}}}\)
Nie korzystać z nierówności pomiędzy średnimi.
Nierówność
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Nierówność
Można tak - dla dowolnych \(\displaystyle{ x,y \mathbb{R}}\) jest:
\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{2} qslant ft( \frac{x+y}{2} \right)^2}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} = \frac{ \frac{a^2+b^2}{2} + \frac{c^2+d^2}{2}}{2} qslant
\frac{\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 + ft( \frac{c+d}{2} \right)^2}{2} qslant ft( \frac{a+b+c+d}{4} \right)^2}\)
Można też tak - rozważmy trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ f(x)= (x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2+(x-d)^2}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f(x) qslant 0}\), co oznacza, że ów trójmian ma niedodatnią deltę. Ale \(\displaystyle{ f(x) = 4x^2 -2(a+b+c+d)x + (a^2+b^2+c^2+d^2)}\) , więc
\(\displaystyle{ \Delta = 4 (a+b+c+d)^2 - 16(a^2+b^2+c^2+d^2) qslant 0}\)
skąd od razu wynika żądana nierówność.
Q.
\(\displaystyle{ \frac{x^2+y^2}{2} qslant ft( \frac{x+y}{2} \right)^2}\).
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4} = \frac{ \frac{a^2+b^2}{2} + \frac{c^2+d^2}{2}}{2} qslant
\frac{\left( \frac{a+b}{2} \right)^2 + ft( \frac{c+d}{2} \right)^2}{2} qslant ft( \frac{a+b+c+d}{4} \right)^2}\)
Można też tak - rozważmy trójmian kwadratowy \(\displaystyle{ f(x)= (x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2+(x-d)^2}\). Oczywiście \(\displaystyle{ f(x) qslant 0}\), co oznacza, że ów trójmian ma niedodatnią deltę. Ale \(\displaystyle{ f(x) = 4x^2 -2(a+b+c+d)x + (a^2+b^2+c^2+d^2)}\) , więc
\(\displaystyle{ \Delta = 4 (a+b+c+d)^2 - 16(a^2+b^2+c^2+d^2) qslant 0}\)
skąd od razu wynika żądana nierówność.
Q.