Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
bmbk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 25 sty 2008, o 20:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: stad
Podziękował: 9 razy

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Post autor: bmbk »

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

\(\displaystyle{ q \equiv 3 (mod \ 15) \\
q \equiv 2 (mod \ 22)}\)




Zapamiętaj:
\(\displaystyle{ \equiv \\ \equiv}\)

Kod: Zaznacz cały

equiv \ equiv
Sylwek[/color]
Ostatnio zmieniony 30 sty 2008, o 23:23 przez bmbk, łącznie zmieniany 2 razy.
Awatar użytkownika
scyth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Post autor: scyth »

\(\displaystyle{ q=15a+3 \\
q=22b+2 \\
15a+1=22b \\
a=\frac{22b-1}{15}}\)

Licznik musi się dzielić przez 5 i przez 3.
Z tego, że musi dzielić się przez 5 dostajemy, że \(\displaystyle{ b=10c+3 \ \ b=10c+8}\) (ostatnia cyfra liczby \(\displaystyle{ 22b}\) musi być szóstką, nie może być zerem). Zatem:
\(\displaystyle{ a=\frac{220c+65}{15}=\frac{44c+13}{3} \ \ a=\frac{220c+175}{15}=\frac{44c+35}{3}}\)
Stąd już łatwo wywnioskować jakie mogą być wartości liczby \(\displaystyle{ c}\).
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Post autor: »

Można też skorzystać z gotowego algorytmu:


Q.
Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 11263
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 3140 razy
Pomógł: 747 razy

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Post autor: mol_ksiazkowy »

q=288
bosz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 115
Rejestracja: 22 sty 2008, o 19:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Edinburgh
Pomógł: 14 razy

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Post autor: bosz »

pierwsze rownanie spelnione jest przez liczby postaci 3+15*k
drugie przez liczby postaci 2+22*j

(2+22*j-3)mod 15 = (- 1 + 7*j) mod 15

latwo sprawdzic ze najmniejse j dla ktorego (- 1 + 7*j) mod 15 = 0 to j= 13

wiec najmniejszą nieujemną z szukanych liczbą jest 13*22+2 = 288

a poniewaz 22 i 15 są wzgędnie pierwsze, rozwiązaniem ogolnym jest 288 + 15*22*n

(przeczytaj o chinskim twierdzeniu o resztach)
Nterowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 15 lut 2009, o 02:00
Płeć: Mężczyzna

Znajdź liczbę q spełniającą warunki kongruencji:

Post autor: Nterowski »

Mam wrażenie ze jesteśmy na tej samej uczelni. Dziwnie podobne zadania .
Jeśli tak to pomylileś/aś się, to powinno tak wygladać...
q\(\displaystyle{ \equiv}\)3(mod 22)
q\(\displaystyle{ \equiv}\)2(mod 15)

Trochę mi zajęło zrozumienie JAK(!!) w tym wypadku q może wynosić 288... no ale znalazłem przyczynę:).
U mnie q=47.
ODPOWIEDZ