warunek konieczny i wystarczajacy na to aby rown mialo rozw.

[Ewcia]

1) jaki warunek jest konieczny i wystarczajacy aby rownanie ax+by=c mialo rozwiazanie. udowodnic koniecznosc tego warunku
2) jaki warunek jest konieczny i wystarczajacy aby rownanie ax+by=c udowodnic wystarczalnosc tego warunku.
3) udowodnic ze kwadrat zadnej liczby nie ma postaci 4k+2
4)udowodnic ze trojka a=2n+1, b=2n^2+2n,c=2n^2+2n +1 jest wlasciwa trojka pitagorejska( tzn a^2+b^2=c^2 to juz sobie sprawdzilam ,a zeby byla wlasciwa to nwd(a,b,c)=1 i a,b musze byc roznej parzystosci tzn nie moga byc obie parzyste lub nieparzyste tj musi byc a parzyste b c nieparzyste lub na odwrot moze byc b parzyste a c nieparzyste .prosze uprzejmie o rozwiazanie potrzebuje to na jutro na kolokwium z Teori liczb, pozdrawiam cieplo

[Olo]

1)dla a,b nie równych 0 jest nieskończenie wiele rozwiązań różnych x,y. dla a=b=0 i \(\displaystyle{ c\neq 0}\) wychodzi równanie sprzeczne. I to samo przez siebie dowodzi konieczność tego warunku.
2)???
3)Twierdzenie jest oczywiście nieprawidłowe bez założenia, że k jest całkowite i kwadrat bierzemy z liczby całkowitej. Z tymi założenia prowadzimy dowód nie wprost:
\(\displaystyle{ m^{2}=4k+2\Leftrightarrow m^{2}-2=4k}\)
Z tego wynika bezprośrednio, że m^2-2 jest podzielne przez 4, stąd wynika, że m jest postaci 2p (podzielne przez 2 bo inaczej m^2-2 nieparzyste). Podnosząc \(\displaystyle{ (2p)^{2}}\) Otrzymujemy sprzeczność gdyż Liczba podzielna przez 4 minus 2 nie jest podzielna przez cztery, c.b.d.o.
4) Jakoś nie rozumiem pytania. nwd(a,b,c) nie musi być równe 1. Co do drugiego: Też nie prawda np. 6,8,10 co z nimi?

[Rogal]

Ale zauważ, że podanej przez Ciebie trójki 6, 8, 10 nie da się uzyskać z podanych wyżej wzorów, gdyż n jest naturalne. Ogólnie ten wzór daje trójki właśnie pierwotne, których NWD jest równe 1.

[Ewcia]

ale w tym pierwszym chodzi o to zeby wykorzystac jakies wlasnosci czy twierdzenia podzielnosci , liniowa kombinacja dwoch liczb a i b to jest nwd(a,b)=d czyli d=ax +by ale zupelnie nie wiem co to ma do warunku koniecznego tego rownania tzn nie wiem jak wykorzystac te podzielnosc

[Olo]

Co do ostatniego, o co pytałaś:
NWD(a,b,c)
Zauważ, że b i c sa kolejnymi liczbami naturalnymi, więc są względnie pierwsze, co już daje NWD(a,b,c)=1
Co do pierwszego, chyba rozumiem o co Ci chodzi.
zakładamy, że wszystkie liczby są całkowite, to twierdzenie wynika bezpośrednio z algorytmu Euklidesa na znajdowanie NWD.
Warunek ten to: NWD(a,b)|c Dowód na konieczność tego warunku:
załóżmy, że NWD(a,b) nie dzieli c wtedy z równania możemy po lewej stronie wyrzucić przed nawias:
NWD(a,b)*(ax/NWD(a,b)+by/NWD(a,b))=c Zauważmy, że Wszystkie liczby występujące w równaniu są całkowite, z tego wynika, że NWD(a,b)|c co jest sprzeczne z założeniem i dowodzi tezę.