Małe Twierdzenie Fermata - 2 zadanka

[neecos]

1)Wiadomo, ze liczba pierwsza p dzieli liczbę 111...11 gdzie 1 wystepuje p razy. Udowodnij ze p=3.

2) Niech a i b beda liczbami naturalnymi, p - zas liczba pierwsza. Udowodnij, ze jezeli liczba
a^p - b^p jest podzielna przez p jest podzielna rowniez przez p^2.

Zadanie z kolko matematycznego dla olimpijczykow H.Pawlowskiego, mam z nimi problem, wiec jesli ktos ma chwilke to prosze o rozwiazanie

[Piotr Rutkowski]

1)Zauważ, że \(\displaystyle{ p|11...1=10^{p-1}+10^{p-2}+...+10+1}\)
Załóżmy, że p nie dzieli 9. Zatem nasza podzielność będzie równoważna:
\(\displaystyle{ p|(10^{p-1}+10^{p-2}+...+10+1)*9=(10^{p-1}+10^{p-2}+...+10+1)*(10-1)=10^{p}-1}\)
Ale z małego twierdzenia Fermata:
\(\displaystyle{ 10^{p}-1\equiv 10-1\equiv 9 \ (modp)}\)
A z tego otrzymujemy, że \(\displaystyle{ p|9}\) co jest sprzeczne z założeniem, co ostatecznie daje nam \(\displaystyle{ p=3}\)

2)Podpowiedź:
\(\displaystyle{ (p|(a^{p}-b^{p}))\Rightarrow (p|(a-b))}\)

[neecos]

Dziekuje bardzo za szybka odpowiedz, o ile pierwsze widze - bardzo ladne rozwiazanie
nie wiem skad wynika podpowiedz do zadania drugiego do konca ? wiem tylko ze wiele mi ona ulatwia

[Piotr Rutkowski]

Skoro \(\displaystyle{ a^{p}-b^{p}\equiv 0 \ (modp)}\)
Oraz z MTF:
\(\displaystyle{ (a^{p}\equiv a \ (modp)) (b^{p}\equiv b \ (modp))}\)
to \(\displaystyle{ a^{p}-b^{p}\equiv a-b\equiv 0 \ (modp)}\)

[neecos]

ech, ale wstyd :p dzieki

[patry93]

Odkopię troszkę.

\(\displaystyle{ 10^{p}-1\equiv 10-1\equiv 9 \ (modp)}\)

Czy to aby nie blef? Wydaje mi się, że winno być: \(\displaystyle{ 10^{p-1} - 1}\) albo \(\displaystyle{ 10^{p}-10}\)...

Przy okazji - czy takie alternatywne rozwiązanie jest poprawne:
zakładamy, że p nie dzieli 9 i z MTF: \(\displaystyle{ p| 10^p -10 = (10^p -1) -9 \Rightarrow p \nmid 10^p -1}\), czyli \(\displaystyle{ \frac{11 \ldots 1}{p} \notin \mathbb{Z}}\) - sprzeczność, która kończy dowód.

Co do zadania drugiego - nie widzę niestety jak można by to ruszyć dalej, bo samo \(\displaystyle{ p|a-b}\) z pewnością nie wystarcza.

[smigol]

Skoro p jest liczbą pierwszą, zaś a całkowitą (nasza dziesiątka) to:\(\displaystyle{ a^p \equiv a \ (mod \ p)}\)

w drugim wzór skróconego mnożenia.

[patry93]

smigol - heh, teraz zdałem sobie sprawę, że to jest "przekształcone" już MTF (i w sumie to samo, co u mnie), więc faktycznie wszystko gra - przepraszam

Domyślam się, że masz na myśli to: \(\displaystyle{ a^p-b^p=(a-b)(a^{p-1}+ a^{p-2}b + \ldots + ab^{p-2} + b^{p-1} )}\), więc pozostaje wykazać podzielność drugiego czynnika przez p, czego jednak nie widzę.

[smigol]

Np.
\(\displaystyle{ a^{p-2}b \equiv a^{p-1} \ (mod \ p)}\)
(dlaczego?)
Podobnie z pozostałymi składnikami sumy z drugiego nawiasu.