Wykaż, że....(dowód)

[kubapod]

Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ \sqrt[2006]{ \sqrt{10}+3} + \sqrt[2006]{ \sqrt{10}-3}>2}\)



Proszę o możliwie szybką odpowiedź i z góry dziękuję

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} >2}\) dla \(\displaystyle{ a \neq 1, \ a>0}\)
\(\displaystyle{ a:=\sqrt[2006]{\sqrt{10}+3}}\)

[kubapod]

Coś tu jest nie tak.Czy wie ktoś jak to do końca zrobić ?

[dabros]

może tak: ułożyć równanie, którego są pierwiastkami (kwadratowe)
wtedy iloczyn pierwiastków jest równy 1 i oba są większe od zera, stąd zachodzi teza zadania

[macq]

Mam taki pomysl:
\(\displaystyle{ \sqrt[2006]{\sqrt{10}+3}-\sqrt[2006]{\sqrt{10}-3}>\\
\sqrt[2006]{\sqrt{10}-3}+\sqrt[2006]{\sqrt{10}-3}=2\cdot \sqrt[2006]{ \sqrt{10}-3}>2 \\\Rightarrow \sqrt[2006]{ \sqrt{10}-3}>1}\)
co jest oczywiste;
pozdrawiam

Przypominam o klamrach

Kod: Zaznacz cały

[tex] i [/tex]

Poza tym uważaj na "{" i "}".
Kasia[/color]

[kubapod]

Mógłbyś pokazać dokładniej co masz na myśli bo jakoś nie rozumiem.

[macq]

przepraszam, nie umiem pisac w latexie, wiem ze jest gdzies kurs ale nie mam teraz czasu zeby sie tego uczyc;
mam nadzieje ze przynajmniej sama idea zostanie zrozumiana

[kubapod]

Chodzi o to, że tutaj też jest błąd. Napisałeś, że\(\displaystyle{ \sqrt[2006]{ \sqrt{10}-3 }>1}\) co nie jest prawdą

[macq]

oczywiscie ze jest prawda poniewaz wyrazenie pod pierwiastkiem jest napewno wieksze od 1, gdyz tylko sqrt[n]{} dla n w nieskaczonosci moze byd rowne 1 [kubapod napisalem Ci wiadomosc na PW]

[dabros]

propo mojej propozycji rozwiązania:
\(\displaystyle{ a+b qslant 2\sqrt{ab}}\)
więc po skonstruowaniu równania suma jego pierwiastków istotnie jest większa od 2
CND

[macq]

Teraz widze blad w swoim rozumowaniu :] soryy wszystkich :]

[kubapod]

propo mojej propozycji rozwiązania:
\(\displaystyle{ a+b \geqslant 2\sqrt{ab}}\)
więc po skonstruowaniu równania suma jego pierwiastków istotnie jest większa od 2
CND

Dobrze więc podstawiając i licząc dalej mamy, że :

\(\displaystyle{ \sqrt[2006]{ \sqrt{10}+3} + \sqrt[2006]{ \sqrt{10}-3} \geqslant 2}\)

Jak mam uzyskać \(\displaystyle{ >}\) a nie \(\displaystyle{ \geqslant}\)

[macq]

rozszerz wyrazenie pod jednym z pierwiastkow ze wzoru na roznice kwadratow, nastepnie podstaw to wyrazenie za a; i rozwaz rownanie ktore napisal mol_ksiazkowy; dostaniesz w ostatecznosci (a-1)^2>0 co konczy dowod;
pozdrawiam:]

[dabros]

\(\displaystyle{ a+b qslant 2 \sqrt{ab}}\)
równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy a=b
a tutaj taka sytuacja nie ma miejsca