Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych x i y spełniających równanie
\(\displaystyle{ x ^{3}+3x ^{2}+5x-2xy+3y=9}\)
trudne równanie w liczbach całkowitych ;)
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
trudne równanie w liczbach całkowitych ;)
Na pewno dobrze przepisałeś? Wychodzą paskudne wyniki - rozwiązaniem jest osiem par liczb, w tym np. \(\displaystyle{ (-33,276)}\) lub \(\displaystyle{ (36,735)}\) (o ile się nie trzasnąłem gdzieś w rachunkach - przy tak dużych liczbach o to niełatwo).
A zanim ew. podam metodę, to mam jeszcze pytanie - skąd pochodzi to zadanie?
Pozdrawiam.
Qń.
A zanim ew. podam metodę, to mam jeszcze pytanie - skąd pochodzi to zadanie?
Pozdrawiam.
Qń.
-
tomeks99
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 25 gru 2007, o 11:32
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piotrków Trybunalski
trudne równanie w liczbach całkowitych ;)
Z podręcznika od matmy, którego autorem jest mój nauczyciel. Umieszcza na stronie kolejne części gdy przerabiamy materiał.Jestem uczniem ILO w Piotrkowie Tryb. Adres skm.piotrkow.pl/kl1
tekst liczby całkowite i wymierne
Chciałbym znać sposób rozwiązania, domyślam się, że trzeba z tego zrobić iloczyn ale nie wiem w jaki sposób. Z góry dzięki
tekst liczby całkowite i wymierne
Chciałbym znać sposób rozwiązania, domyślam się, że trzeba z tego zrobić iloczyn ale nie wiem w jaki sposób. Z góry dzięki
-
Qń
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
trudne równanie w liczbach całkowitych ;)
Ok, wolałem się upewnić, czy to aby nie jakiś konkurs .
Zadanie rozwiązuje się wyznaczając z niego y:
\(\displaystyle{ y= \frac{x^3+3x^2+5x-9}{2x-3}}\)
Dzielimy teraz wielomiany po prawej strony, wyjdzie niestety ułamkowo, po pozbyciu się ułamków powyższe równanie będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ 8y=4x^2+18x+47 + \frac{69}{2x-3}}\)
To zaś oznacza, że \(\displaystyle{ 2x-3}\) musi być dzielnikiem \(\displaystyle{ 69}\), czyli:
\(\displaystyle{ x \{ -33,-10,0,1,2,3,13,36\}}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z tego zbioru sprawdzamy czy istnieje odpowiadające mu \(\displaystyle{ y}\) całkowite. Jak się okazuje istnieje dla każdego, więc dostajemy ostatecznie 8 rozwiązań:
\(\displaystyle{ (-33,276) \\
(-10,33) \\
(0,3) \\
(1,0) \\
(2,21) \\
(3,20) \\
(13,120) \\
(36, 735)}\)
Ale lepiej sprawdzić rachunki, bo nie używałem kalkulatora, więc mogłem się gdzieś pomylić .
Pozdrawiam.
Qń.
Zadanie rozwiązuje się wyznaczając z niego y:
\(\displaystyle{ y= \frac{x^3+3x^2+5x-9}{2x-3}}\)
Dzielimy teraz wielomiany po prawej strony, wyjdzie niestety ułamkowo, po pozbyciu się ułamków powyższe równanie będzie wyglądać tak:
\(\displaystyle{ 8y=4x^2+18x+47 + \frac{69}{2x-3}}\)
To zaś oznacza, że \(\displaystyle{ 2x-3}\) musi być dzielnikiem \(\displaystyle{ 69}\), czyli:
\(\displaystyle{ x \{ -33,-10,0,1,2,3,13,36\}}\)
Dla każdego \(\displaystyle{ x}\) z tego zbioru sprawdzamy czy istnieje odpowiadające mu \(\displaystyle{ y}\) całkowite. Jak się okazuje istnieje dla każdego, więc dostajemy ostatecznie 8 rozwiązań:
\(\displaystyle{ (-33,276) \\
(-10,33) \\
(0,3) \\
(1,0) \\
(2,21) \\
(3,20) \\
(13,120) \\
(36, 735)}\)
Ale lepiej sprawdzić rachunki, bo nie używałem kalkulatora, więc mogłem się gdzieś pomylić .
Pozdrawiam.
Qń.
-
Rogal
- Użytkownik
- Posty: 5405
- Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: a z Limanowej
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 422 razy
trudne równanie w liczbach całkowitych ;)
Mamy równanko \(\displaystyle{ x ^{3}+3x ^{2}+5x-2xy+3y=9}\)
Przekształcamy nieco \(\displaystyle{ x^{3} + 3x^{2} + 5x -9 = 2xy-3y \\ y(2x-3) = x^{3}+3x^{2}+5x-9}\)
Możemy podzielić stronami przez 2x-3, bo x=3/2 nie jest pierwiastkiem, który nas interesuje i dostajemy:
\(\displaystyle{ y = \frac{x^{3}+3x^{2}+5x-9}{2x-3} = \frac{(2x-3)(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{47}{8})+\frac{69}{8}}{2x-3} = \frac{1}{8}(4x^{2}+18x+47) + \frac{69}{16x-3}}\)
Teraz chyba najprościej będzie sprawdzić, kiedy 16x-3 dzieli 69, ale jeszcze zgadywaną liczbę należy podstawić do trójmianu \(\displaystyle{ 4x^{2}+18x+47}\) i sprawdzić, czy wynik dzieli się przez 8. Trochę żmudne, ale powinno wyjść.
Przekształcamy nieco \(\displaystyle{ x^{3} + 3x^{2} + 5x -9 = 2xy-3y \\ y(2x-3) = x^{3}+3x^{2}+5x-9}\)
Możemy podzielić stronami przez 2x-3, bo x=3/2 nie jest pierwiastkiem, który nas interesuje i dostajemy:
\(\displaystyle{ y = \frac{x^{3}+3x^{2}+5x-9}{2x-3} = \frac{(2x-3)(\frac{1}{2}x^{2}+\frac{9}{4}x+\frac{47}{8})+\frac{69}{8}}{2x-3} = \frac{1}{8}(4x^{2}+18x+47) + \frac{69}{16x-3}}\)
Teraz chyba najprościej będzie sprawdzić, kiedy 16x-3 dzieli 69, ale jeszcze zgadywaną liczbę należy podstawić do trójmianu \(\displaystyle{ 4x^{2}+18x+47}\) i sprawdzić, czy wynik dzieli się przez 8. Trochę żmudne, ale powinno wyjść.