Udowodnij niewymierność

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
kylek2089
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 8 paź 2007, o 21:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 5 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: kylek2089 »

Sprawdźcie moje rozumowanie :

\(\displaystyle{ Z:

2+ \sqrt{3} Q

2+ \sqrt{3}= \frac{p}{q}

\sqrt{3}= \frac{p-2q}{q}}\)


D:

\(\displaystyle{ 3= \frac{p^{2}}{q ^{2}}

p^{2}= 3*q ^{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{p^{2}}{3}= q^{2}}\)

\(\displaystyle{ p= 3*k

(3k)^{2}= 3*q^{2}

9k^{2}= 3*q^{2}

3k^{2}= q^{2}}\)


\(\displaystyle{ \frac{q^{2}}{3}= k^{2}}\)

Więc \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) jest niewymierny. Czy tyle wystarczy w tym przykładzie czy trzeba co robić z \(\displaystyle{ \sqrt{3}= \frac{p-2q}{q}}\)[/latex]
Rogal
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5405
Rejestracja: 11 sty 2005, o 22:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: a z Limanowej
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 422 razy

Udowodnij niewymierność

Post autor: Rogal »

Ok, to tak, jeśli dobrze rozumiem - na boczku udowadniasz sobie, że pierwiastek z trzech jest niewymierny (tylko nie używaj do tego tych samych p i q), a następnie piszesz, że równość \(\displaystyle{ \sqrt{3} = \frac{p-2q}{q}}\) jest sprzeczna, ponieważ po prawej masz liczbę wymierną z założenia, a po lewej liczbę niewymierną, więc całe przypuszczenie, że tamta pierwsza liczba jest wymierna doprowadziło do sprzeczności, stąd liczba \(\displaystyle{ 2+\sqrt{3}}\) jest niewymierna.
ODPOWIEDZ