Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= p^{2}+6 \\r= q^{2}+6 \end{cases}}\)
Układ równań - liczby pierwsze
-
- Użytkownik
- Posty: 2826
- Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lublin/warszawa
- Podziękował: 62 razy
- Pomógł: 482 razy
Układ równań - liczby pierwsze
Zadanie z ubiegłorocznej OMG.
Rozwiązując je, rozpatrywałam cyfry jedności liczb p.
Za każdym razem któraś z pozostałych liczb była podzielna przez 5, jedynym przypadkiem, kiedy mimo to, spełniały one warunki zadania, jest trójka:
\(\displaystyle{ (p,q,r)=(5,31,967)}\)
Rozwiązując je, rozpatrywałam cyfry jedności liczb p.
Za każdym razem któraś z pozostałych liczb była podzielna przez 5, jedynym przypadkiem, kiedy mimo to, spełniały one warunki zadania, jest trójka:
\(\displaystyle{ (p,q,r)=(5,31,967)}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Układ równań - liczby pierwsze
Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ p 2 \ (mod5)}\)
Pierwsze nie może zachodzić, bo wtedy mielibyśmy \(\displaystyle{ 5|q}\) co prowadzi do sprzeczności.
Zatem \(\displaystyle{ q\equiv 2 \ (mod5)}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ r=q^{2}+6\equiv 0 \ (mod5)}\) co znów prowadzi do sprzeczności.
Zatem jedynym możliwym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ p=5 \ q=31 \ r=ilestam}\) (sprawdzasz ręcznie)
EDIT: Zostałem wyprzedzony
Pierwsze nie może zachodzić, bo wtedy mielibyśmy \(\displaystyle{ 5|q}\) co prowadzi do sprzeczności.
Zatem \(\displaystyle{ q\equiv 2 \ (mod5)}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ r=q^{2}+6\equiv 0 \ (mod5)}\) co znów prowadzi do sprzeczności.
Zatem jedynym możliwym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ p=5 \ q=31 \ r=ilestam}\) (sprawdzasz ręcznie)
EDIT: Zostałem wyprzedzony
-
- Użytkownik
- Posty: 2234
- Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 22 razy
- Pomógł: 390 razy
Układ równań - liczby pierwsze
Sorki, zrobiłem tam skrót myślowy, w ten sam sposób te wszelkie inne kongruencje prowadzą do sprzeczności Zawsze zachodzi \(\displaystyle{ p^{2}+6\equiv 0\vee 2 \ (mod5)}\) poza p=5