Układ równań - liczby pierwsze

[Desmondo]

Wyznacz wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r spełniających układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} q= p^{2}+6 \\r= q^{2}+6 \end{cases}}\)

[*Kasia]

Zadanie z ubiegłorocznej OMG.

Rozwiązując je, rozpatrywałam cyfry jedności liczb p.
Za każdym razem któraś z pozostałych liczb była podzielna przez 5, jedynym przypadkiem, kiedy mimo to, spełniały one warunki zadania, jest trójka:
\(\displaystyle{ (p,q,r)=(5,31,967)}\)

[Piotr Rutkowski]

Łatwo zauważyć, że \(\displaystyle{ p 2 \ (mod5)}\)
Pierwsze nie może zachodzić, bo wtedy mielibyśmy \(\displaystyle{ 5|q}\) co prowadzi do sprzeczności.
Zatem \(\displaystyle{ q\equiv 2 \ (mod5)}\)
Ale wtedy \(\displaystyle{ r=q^{2}+6\equiv 0 \ (mod5)}\) co znów prowadzi do sprzeczności.
Zatem jedynym możliwym rozwiązaniem będzie \(\displaystyle{ p=5 \ q=31 \ r=ilestam}\) (sprawdzasz ręcznie)

EDIT: Zostałem wyprzedzony

[*Kasia]

Zatem zachodzi \(\displaystyle{ p\equiv 2\vee 4 \ (mod5)}\)

Dlaczego?
A np. \(\displaystyle{ p=11}\)?

[Piotr Rutkowski]

Sorki, zrobiłem tam skrót myślowy, w ten sam sposób te wszelkie inne kongruencje prowadzą do sprzeczności Zawsze zachodzi \(\displaystyle{ p^{2}+6\equiv 0\vee 2 \ (mod5)}\) poza p=5