Ułamek okresowy

[Drops]

chodzi o ulamki dziesietne

[Rogal]

To sobie w liczniku dopisz 0, z przodu.

[Drops]

wogule tego nie czaje ma byc dzielenie skad wiadomo , ze ulamek 123,11 po podzielniu przez 2,3,4,5 ... bedzie mial zawsze okres?

[Rogal]

Nie będzie miał zawsze, co Ci tłumaczymy już jedną stronę. Będzie miał wtedy, gdy nie podzieli się bez reszty przez liczbę różną od 2, 5 i ich wzajemnych wielokrotności.
Czyli w podanym przez Ciebie przykładzie 123,11 przy dzieleniu przez 3 tylko będzie miało okres.
A takie pytanie - umiesz dzielić pisemnie?

[Drops]

A takie pytanie - umiesz dzielić pisemnie?

tak

Będzie miał wtedy, gdy nie podzieli się bez reszty przez liczbę różną od 2, 5 i ich wzajemnych wielokrotności.

tego fragmentu nie rozumiem
nauczyciel zawola mnie do tablicy czy 1:9 bedzie to ulamek okresowy i co powiem skad bede wiedzial na co trzeba prtrzec na dzielna czy dzielnik ?

[sztuczne zęby]

Dzielisz jakieś liczby. Powiedzmy \(\displaystyle{ \frac{k}{l}}\). Jeżeli k jest wielokrotnością l to oczywiście nie dostajesz żadnego ułamka. Jeśli nie to ułamek będzie skończony, wtedy gdy l w rozkładzie na czynniki pierwsze ma tylko 2 i 5. Przy takim dzieleniu dwu liczb całkowitych wszystkie inne ułamki będą okresowe.

[Drops]

Dzielisz jakieś liczby. Powiedzmy \(\displaystyle{ \frac{k}{l}}\). Jeżeli k jest wielokrotnością l to oczywiście nie dostajesz żadnego ułamka. Jeśli nie to ułamek będzie skończony, wtedy gdy l w rozkładzie na czynniki pierwsze ma tylko 2 i 5. Przy takim dzieleniu dwu liczb całkowitych wszystkie inne ułamki będą okresowe.

chodzi o ulamki dzies i odpowiedz na pytanie zawarte w poprzednim poscie

[buliin]

Dzielisz jakieś liczby. Powiedzmy \(\displaystyle{ \frac{k}{l}}\). Jeżeli k jest wielokrotnością l to oczywiście nie dostajesz żadnego ułamka. Jeśli nie to ułamek będzie skończony, wtedy gdy l w rozkładzie na czynniki pierwsze ma tylko 2 i 5. Przy takim dzieleniu dwu liczb całkowitych wszystkie inne ułamki będą okresowe.

Dodam jeszcze, że \(\displaystyle{ NWD(k,l)=1}\), żeby nie napisał, że \(\displaystyle{ \frac{3}{12}}\) to ułamek, który ma rozwinięcie okresowe

Drops już ci pisałem: jak masz ułamek dziesiętny to zamieniasz na zwykły, jeśli się nie da to liczba jest niewymierna (nieskończona, nieokresowa), jeśli się da to stosujesz to co opisał sztuczne zęby

A \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\) jest ma rozwinięcie dziesiętne okresowe

[Piotr Rutkowski]

Można to też wytłumaczyć na innej płaszczyźnie. Ułamek posiadający rozwinięcie dziesiętne nieskończone okresowe musi dać się przedstawić w postaci \(\displaystyle{ \frac{10^{n}a}{10^{n}-1}}\)
Przy czym a jest dowolną liczbą posiadającą rozwinięcie dziesiętne skończone. Dlaczego? Otóź dlatego, że każdy ułamek dziesiętny nieskończony okresowy jest niczym innym jak sumą nieskończonego szeregu geometrycznego o ilorazie postaci \(\displaystyle{ q=\frac{1}{10^{n}} \ n\in N}\) Kontynuując taka suma o początkowym wyrazie a będzie wyglądała tak \(\displaystyle{ a*\frac{1}{1-q}=\frac{a}{1-\frac{1}{10^{n}}}=\frac{a10^{n}}{10^{n}-1}}\)
Jako, ze interesują Cię podstawowe przykłady możesz sobie to zawężyć i np. założyć, że \(\displaystyle{ a\in N}\) Zatem \(\displaystyle{ \frac{1}{9}}\) jest ułamkiem dziesietnym o rozwinięciu nieskończonym okresowym, ponieważ daje się przedstawić w takiej postaci dla \(\displaystyle{ a=\frac{1}{10}}\) oraz \(\displaystyle{ n=1}\)

[Rogal]

chodzi o ulamki dzies

nauczyciel zawola mnie do tablicy czy 1:9 bedzie to ulamek okresow

Wpierw się zdecyduj.

Co do fragmentu, którego nie rozumiesz, to postaram się to wyjaśnić lepiej, a nie ma nic lepszego niż dobry przykład.
Weźmy sobie ułamek dziesiętny 0,123 i prześledźmy na jego przykładzie wszystko, co napisałem. Gdybyśmy wzięli liczbę 2, to wtedy 0,123:2 = 0,0615, czyli nie ma nieskończonego okresu. Jak weźmiemy liczbę 5, to 0,123:5 = 0,0246 i znowuż nie mamy okresu. Jak weźmiemy 4, to sam sobie możesz podzielić, że znowuż nam okres nie wyjdzie, podobnie dla 10 czy 25. To między innymi są wzajemne wielokrotności liczb 2 i 5, jeśli akurat tego nie zrozumiałeś.
Teraz idźmy dalej, weźmy liczbę, która nie jest ani wielokrotnością 2 ani 5 ani 10, czyli takie dajmy na to 3. Widzimy jednak, że liczba 0,123 podzieli się przez 3 bez reszty na mocy cechy podzielności, bo 1+2+3 = 6. Dokładnie 0,123:3 = 0,41. Weźmy za to 9, bo ta sama cecha podzielności, co powyżej mówi, że nasza liczba nie dzieli się przez 9. Próbując dzielić pisemnie otrzymamy, że 0,123:9 = 0,0136666666... i tak nam się ta szóstka będzie powtarzać w nieskończoność, czyli mamy ułamek dziesiętny okresowy.
Mam nadzieję, że wyjaśniłem zapis.
A teraz na przykładzie, co zrobić jak idziesz do tablicy i chcesz to rozpoznać?
Bierzesz dzielnik, na przykład 60 i rozkładasz sobie tak jak do NWD, czy NWW, czyli 60 = 2*2*3*5. Teraz wszystkie piątki i dwójki Cię nie interesują, tylko wszystkie inne liczby - u nas mamy trójeczkę. Patrzysz teraz na dzielną i korzystasz z cechy podzielności przez 3, by stwierdzić bez liczenia, czy dzielna się dzieli przez 3 czy nie. Jeśli się dzieli, to w wyniku całego dzielenia dostaniesz ułamek dziesiętny skończony. Jeśli zaś się nie dzieli, to dostaniesz ułamek dziesiętny nieskończony okresowy.
Teraz korzystając z tego, co tutaj napisałem, przeprowadź podobne rozumowanko na przykładzie 0,41:12 i przedstaw je tutaj krok po kroku.
A z innej beczki mówiąc, to za moich czasów zawsze można sobie było podzielić pisemnie, by stwierdzić, czy wychodzi okres, czy nie, no ale może czasy się zmieniają.

Natomiast panów zarzucających nas tutaj niezwykłymi mądrościami radzę wziąć na wstrzymanie i spojrzeć na wiek usera - wy też nie byliście w tym wieku świadomi spraw wielu.

[Drops]

z tego wynika , ze trzeba przprowadzic rozklad ul.dzies. na czynniki pierwsze tylko ja nie wiem jak to sie robi

[binaj]

a może tak to wytłumaczę, ułamek jest okresowy jeżeli jego mianownik jest postaci 9,99,999,9999...

z tymże jest to dość mozolna metoda

np: \(\displaystyle{ \frac{1}{9} = 0,(1)}\)
\(\displaystyle{ \frac{3}{7} = \frac{428571}{999999} = 0,(428571)}\)

[Rogal]

No cóż, jeśli nie wiesz jak to się robi, to nie przyszpanujesz nauczycielowi taką wiedzą tajemną, jak zgadywanie czy wynik dzielenia ma skończoną część dziesiętną czy nie. Musisz się jeszcze douczyć i co najważniejsze, ćwiczyć. Wszystko jest do osiągnięcia, jak się tylko chce.