Duże liczby - ostatnia cyfra.

[azedor]

Powiedzmy, że mam liczbę zapisaną w postaci \(\displaystyle{ a^b}\), gdzie \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) to jakieś duże liczby całkowite, np. \(\displaystyle{ 5323444^{345342234}}\). Czy jest jakiś szybki i prosty sposób aby dowiedzieć się jaka będzie ostatnia cyfra takiej liczby ?

[scyth]

Zauważ, że ostatnia cyfrą możesz zbadać licząc potęgi liczby 4. I mamy ostatnie cyfry:
4
16, czyli 6
6*4=24, czyli 4
A później to już leci 6,4,6,4,6,4
Zatem taka liczba do potęgi parzystej będzie miała za ostatnią cyfrę 6.
Trochę chaotycznie, ale mam nadzieję, że rozumiesz ideę.

[azedor]

Thx, wprawdzie nie chodziło mi o ten konkretny przypadek, ale teraz wiem już jak to uogólnić.

Niech \(\displaystyle{ a=(...a_{2}a_{1}a_{0})}\) gdzie \(\displaystyle{ a_{i}}\) jest cyfrą na \(\displaystyle{ i}\)-tej pozycji w liczbie \(\displaystyle{ a}\). Niech \(\displaystyle{ c=a^b=(...c_{2}c_{1}c_{0})}\).

Jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest parzyste to \(\displaystyle{ c_{0}=a_{0}^2\mod 10}\), jeśli \(\displaystyle{ b}\) jest nieparzyste to \(\displaystyle{ c_{0}=a_{0}}\).

[scyth]

Niekoniecznie, jeśli weźmiesz inną liczbę to cykl może być dłuższy niż 2. Ale ogólnie:
\(\displaystyle{ c_0=a_0^b \mod 10}\)

[Xitami]

\(\displaystyle{ 5323444^{345342234}\mbox{ }mod \mbox{ }10=6}\) wg

istotne: \(\displaystyle{ \log_2345342234\approx 29}\) kroków