Rozkład liczby na sumę dwóch kwadratów liczb naturalnych

[Kobcio]

Ostatnio znalazłem w pewnej książce takie twierdzenie przypisywane Fermatowi:
\(\displaystyle{ \forall p \in \mathcal{P} \quad \exists a,b \in \mathbb{N} \quad p+1\nmid 4 p=a^{2}+b^{2}}\)
Z czego ma wynikać też, iż jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ k \in \mathbb{N}}\), to gdy zapiszemy ją w formie iloczynu potęg liczb pierwszych (\(\displaystyle{ p^{a}r^{b}s^{c}...}\)) i każda z tych potęg plus 1 (np. \(\displaystyle{ p^{a}+1}\)) nie dzieli się przez 4 to cała liczba \(\displaystyle{ k}\) jest sumą dwóch kwadratów liczb naturalnych.

Ostatnie kilka dni poświęciłem na szukanie dowodu tego twierdzenia, no i oczywiście myśląc nad nim, bo a nuż sam wpadnę ale jak dotąd nie udało mi się ani znaleźć, ani wymóżdżyć tego dowodu w sumie nie wiem czy ten temat powinien być tu, czy w zespolonych, bo twierdzenie to pojawiło się podczas analizowania właściwości Gaussowskich liczb całkowitych

Jeśliby ktoś napisał mi dowód tego twierdzenia oraz przejście do tego co ma z niego wynikać to byłbym naprawdę wdzięczny

[Qń]

Dowodu pierwszego twierdzenia nie pamiętam i nie umiem go wymyślić na szybko, ale o ile się nie mylę jest on u Sierpińskiego (Arytmetyka teoretyczna i chyba też Teoria liczb).

Wniosek w postaci podanej przez Ciebie jest nieprawdziwy (np. 49 nie daje się rozłożyć na sumę kwadratów). Jest natomiast prawdziwy, jeśli to nie potęga, ale każda z liczb pierwszych występujących w rozkładzie zwiększona o 1 nie jest podzielna przez 4. Wynika to z tożsamości:
\(\displaystyle{ (a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2}\)
która oznacza, że iloczyn dwóch liczb dających się rozłożyć na sumę dwóch kwadratów, też daje rozłożyć się na sumę dwóch kwadratów. Banalna indukcja pokazuje, że to także prawda dla iloczynu dowolnej (skończonej) ilości liczb, a stąd od razu wynika teza.

A skoro mowa o liczbach zespolonych, to dodam, że powyższa tożsamość to oczywiście:
\(\displaystyle{ \left|z_1 \right| \cdot \left| z_2 \right| = \left| z_1 \cdot z_2 \right|}\)

Pozdrawiam.
Qń.

PS. Dział chyba dobrze wybrany .

[Kobcio]

Wniosek w postaci podanej przez Ciebie jest nieprawdziwy (np. 49 nie daje się rozłożyć na sumę kwadratów). Jest natomiast prawdziwy, jeśli to nie potęga, ale każda z liczb pierwszych występujących w rozkładzie zwiększona o 1 nie jest podzielna przez 4.

Szczerze to tak jakoś mi nie pasowało właśnie z tymi potęgami, bo to przerywało mi tok rozumowania najpierw o pierwszych, a potem zaraz o ich potęgach czyli złożonych liczbach Czyli ołóweczek w dłoń i adnotacje na marginesie (dobrze, że książka moja własna )

A z zespolonymi to nawet bym powiedział, że chyba chodzi o:
\(\displaystyle{ p=z \overline{z}}\), np. tak : \(\displaystyle{ 13=(3+2i)(3-2i)=3^{2}+2^{2}}\), czyli szukanie dzielników liczb pierwszych wśród całkowitych liczb zespolonych gaussa, bo wtedy ich sprzężenia też są dzielnikami a dowód u Sierpińskiego znalazłem już wcześniej ale on odnosi się tlyko do liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p=4k+1, \quad gdzie \quad k\in \mathbb{N}}\)

[Qń]

A z zespolonymi to nawet bym powiedział, że chyba chodzi o (...)

Nie, chodziło mi dokładnie o to co napisałem.

dowód u Sierpińskiego znalazłem już wcześniej ale on odnosi się tlyko do liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ p = 4k+1}\)

A wiele znasz liczb pierwszych, które nie są tej postaci i dla których \(\displaystyle{ p+1}\) nie jest podzielne przez \(\displaystyle{ 4}\)? Bo ja jedną, dla której zresztą dość łatwo sprawdzić, że \(\displaystyle{ 2 = 1^{2} + 1^{2}}\) .

Pozdrawiam.
Qń.

[Kobcio]

Z tymi zespolonymi, to wiem o co Ci chodziło, tylko napisałem drugą rzecz która wiąże te dwa tematy

A właśnie chciałem dopisać edita, że przecież dowód dla pierwszych tej postaci wystarcza ale mnie wyprzedziłeś

Ogólnie dzięki