Przekatne wielokata
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Przekatne wielokata
Wykaz, ze istniej nieskonczenie wiele wielokątow o róznej liczbie boków, w ktorych ilosc przekatnych jest kwadratem l. naturalnej: Zadanie sprowadza sie do rozwazenia stosownego równania diofantycznego i elementarnego pokazania ze ma dowolnie duzo rozw
-
- Użytkownik
- Posty: 9833
- Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Bydgoszcz
- Podziękował: 90 razy
- Pomógł: 2632 razy
Przekatne wielokata
Trochę się trzeba było nagimnastykować, ale mam .
Musimy pokazać, że równanie:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2} = k^2}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.
Łatwo sprawdzić, że jego rozwiązaniami są:
\(\displaystyle{ n=3x^2 \\
k=3xy}\)
gdzie para \(\displaystyle{ \left( x,y \right)}\) to rozwiązanie równania Pella:
\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
Ponieważ to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych (jak to równania Pella mają w zwyczaju), więc również wyjściowe równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych, co było do udowodnienia.
Pozdrawiam.
Qń.
Musimy pokazać, że równanie:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2} = k^2}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.
Łatwo sprawdzić, że jego rozwiązaniami są:
\(\displaystyle{ n=3x^2 \\
k=3xy}\)
gdzie para \(\displaystyle{ \left( x,y \right)}\) to rozwiązanie równania Pella:
\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
Ponieważ to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych (jak to równania Pella mają w zwyczaju), więc również wyjściowe równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych, co było do udowodnienia.
Pozdrawiam.
Qń.
- mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11367
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3153 razy
- Pomógł: 747 razy
Przekatne wielokata
coż jak sie okazuje kol Qń zawsze niezawodny... no ładne, eleganckie podstawienie, kol ja znalazłem- w ksiazce rozwiazanie krotkie, ale sztuczne, gdyz wziete z powietrza, tj: n=6, k=3 a z pary (n,k) kolejna para spełnaijaca to rownanie:
\(\displaystyle{ n_i=3n_{i-1}+4k_{i-1}-3, \ k_i= 2n_{i-1}+3k_{i-1}-3}\), co nie za trudno sprawdzic , ale...podobnie całkiem tj z cytowanym przez ciebie równ Pellea,
\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
x=3, y=2 i
\(\displaystyle{ x^\prime=3x+4y}\)
\(\displaystyle{ y^\prime=2x+3y}\)
\(\displaystyle{ n_i=3n_{i-1}+4k_{i-1}-3, \ k_i= 2n_{i-1}+3k_{i-1}-3}\), co nie za trudno sprawdzic , ale...podobnie całkiem tj z cytowanym przez ciebie równ Pellea,
\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
x=3, y=2 i
\(\displaystyle{ x^\prime=3x+4y}\)
\(\displaystyle{ y^\prime=2x+3y}\)