Przekatne wielokata

[mol_ksiazkowy]

Wykaz, ze istniej nieskonczenie wiele wielokątow o róznej liczbie boków, w ktorych ilosc przekatnych jest kwadratem l. naturalnej: Zadanie sprowadza sie do rozwazenia stosownego równania diofantycznego i elementarnego pokazania ze ma dowolnie duzo rozw

[Qń]

Trochę się trzeba było nagimnastykować, ale mam .

Musimy pokazać, że równanie:
\(\displaystyle{ \frac{n(n-3)}{2} = k^2}\)
ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych.

Łatwo sprawdzić, że jego rozwiązaniami są:
\(\displaystyle{ n=3x^2 \\
k=3xy}\)
gdzie para \(\displaystyle{ \left( x,y \right)}\) to rozwiązanie równania Pella:
\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
Ponieważ to równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych (jak to równania Pella mają w zwyczaju), więc również wyjściowe równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań w liczbach naturalnych, co było do udowodnienia.

Pozdrawiam.
Qń.

[mol_ksiazkowy]

coż jak sie okazuje kol Qń zawsze niezawodny... no ładne, eleganckie podstawienie, kol ja znalazłem- w ksiazce rozwiazanie krotkie, ale sztuczne, gdyz wziete z powietrza, tj: n=6, k=3 a z pary (n,k) kolejna para spełnaijaca to rownanie:
\(\displaystyle{ n_i=3n_{i-1}+4k_{i-1}-3, \ k_i= 2n_{i-1}+3k_{i-1}-3}\), co nie za trudno sprawdzic , ale...podobnie całkiem tj z cytowanym przez ciebie równ Pellea,
\(\displaystyle{ x^2-2y^2=1}\)
x=3, y=2 i
\(\displaystyle{ x^\prime=3x+4y}\)
\(\displaystyle{ y^\prime=2x+3y}\)