djp. równania wykładniczego
-
jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
djp. równania wykładniczego
pokażemy że równanie \(\displaystyle{ 25^{x}= 3^{x}+ 5^{x}+ 9^{x}}\) ma rozwiązanie rzeczywiste
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= 3^{x}+ 5^{x}+ 9^{x}-25^{x}}\)
funkcja ta jest ciągła oraz \(\displaystyle{ f(0)>0}\) i \(\displaystyle{ f(1)x_1}\) wtedy
\(\displaystyle{ (\frac{3}{25})^x +(\frac{5}{25})^x +(\frac{9}{25})^x < {\frac{3}{25})^{x_1} + (\frac{5}{25})^{x_1} +(\frac{9}{25})^{x_1}}=1}\)
analogicznie dla\(\displaystyle{ x1}\)
czyli jedyną wartością spełniającą równanie \(\displaystyle{ 1=(\frac{3}{25})^x +(\frac{5}{25})^x +(\frac{9}{25})^x}\) jest \(\displaystyle{ x_1}\)
co kończy dowód
rozważmy funkcję \(\displaystyle{ f(x)= 3^{x}+ 5^{x}+ 9^{x}-25^{x}}\)
funkcja ta jest ciągła oraz \(\displaystyle{ f(0)>0}\) i \(\displaystyle{ f(1)x_1}\) wtedy
\(\displaystyle{ (\frac{3}{25})^x +(\frac{5}{25})^x +(\frac{9}{25})^x < {\frac{3}{25})^{x_1} + (\frac{5}{25})^{x_1} +(\frac{9}{25})^{x_1}}=1}\)
analogicznie dla\(\displaystyle{ x1}\)
czyli jedyną wartością spełniającą równanie \(\displaystyle{ 1=(\frac{3}{25})^x +(\frac{5}{25})^x +(\frac{9}{25})^x}\) jest \(\displaystyle{ x_1}\)
co kończy dowód
-
przemk20
- Użytkownik
- Posty: 1094
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 22:47
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olesno
- Podziękował: 45 razy
- Pomógł: 236 razy
djp. równania wykładniczego
\(\displaystyle{ 25^x - 9^x = 3^x+5^x \\
(5^x-3^x)(5^x+3^x) =(5^x+3^x) \\
f(x)=5^x-3^x-1 = 0 \\
f'(x) = \ln 5 \ 5^x - \ln 3 \ 3^x >\ln 3(5^x-3^x) q 0 \\}\)
czyli f rosnie a ze f(0) < 0, f(1)>0 to istnieje dokladnie 1 rozwiazanie
(5^x-3^x)(5^x+3^x) =(5^x+3^x) \\
f(x)=5^x-3^x-1 = 0 \\
f'(x) = \ln 5 \ 5^x - \ln 3 \ 3^x >\ln 3(5^x-3^x) q 0 \\}\)
czyli f rosnie a ze f(0) < 0, f(1)>0 to istnieje dokladnie 1 rozwiazanie