suma pierwiastków
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
suma pierwiastków
w ten sposób już chyba działa
dowód nie wprost
wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczbą niewymierną (dowód przebiega tak samo jak przy niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\))
załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}}\) jest wymierna
wymierna jest wtedy liczba \(\displaystyle{ (\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})^2=2+2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2}\)
czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2 Q}\)
wtedy także \(\displaystyle{ (2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2)^2 Q}\)
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2)^2=8(\sqrt[3]{2})^2+8\sqrt{2}+2\sqrt[3]{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ 4(\sqrt[3]{2})^2+4\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} Q}\)
wtedy liczba \(\displaystyle{ A=4(\sqrt[3]{2})^2+4\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} - 4(\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})=4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2}}\) jest wymierna, jako suma dwóch liczb wymiernych
skoro liczba jest \(\displaystyle{ 4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2} Q}\) to także liczba
\(\displaystyle{ (4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2})^2 =32\sqrt[3]{2}-48+9(\sqrt[3]{2})^2 Q}\)
czyli liczba\(\displaystyle{ B=32\sqrt[3]{2}+9(\sqrt[3]{2})^2}\) jest wymierna
czyli liczba \(\displaystyle{ 9A-4B}\) jest wymierna
ale \(\displaystyle{ 9A-4B=9(4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2})-4(2\sqrt[3]{2}+9(\sqrt[3]{2})^2)=
-25\sqrt[3]{2}}\)
i tutaj dochodzimy do sprzeczności gdyż z prawej strony mamy liczbę niewymierną a z lewej wymierną
Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}}\) jest niewymierna
q.e.d
dowód nie wprost
wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczbą niewymierną (dowód przebiega tak samo jak przy niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\))
załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}}\) jest wymierna
wymierna jest wtedy liczba \(\displaystyle{ (\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})^2=2+2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2}\)
czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2 Q}\)
wtedy także \(\displaystyle{ (2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2)^2 Q}\)
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2)^2=8(\sqrt[3]{2})^2+8\sqrt{2}+2\sqrt[3]{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ 4(\sqrt[3]{2})^2+4\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} Q}\)
wtedy liczba \(\displaystyle{ A=4(\sqrt[3]{2})^2+4\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} - 4(\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})=4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2}}\) jest wymierna, jako suma dwóch liczb wymiernych
skoro liczba jest \(\displaystyle{ 4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2} Q}\) to także liczba
\(\displaystyle{ (4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2})^2 =32\sqrt[3]{2}-48+9(\sqrt[3]{2})^2 Q}\)
czyli liczba\(\displaystyle{ B=32\sqrt[3]{2}+9(\sqrt[3]{2})^2}\) jest wymierna
czyli liczba \(\displaystyle{ 9A-4B}\) jest wymierna
ale \(\displaystyle{ 9A-4B=9(4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2})-4(2\sqrt[3]{2}+9(\sqrt[3]{2})^2)=
-25\sqrt[3]{2}}\)
i tutaj dochodzimy do sprzeczności gdyż z prawej strony mamy liczbę niewymierną a z lewej wymierną
Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}}\) jest niewymierna
q.e.d
Ostatnio zmieniony 26 gru 2007, o 11:38 przez jarekp, łącznie zmieniany 2 razy.
- Efendi
- Użytkownik
- Posty: 205
- Rejestracja: 7 paź 2006, o 09:25
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: R-k
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 13 razy
suma pierwiastków
Wielkie dzięki!
Mam tylko jedno pytanie do tego - w tym ostatnim równaniu korzystasz właściwie z tego, że suma \(\displaystyle{ 2+3\sqrt[3]{2}\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2})+2\sqrt{2}}\) jest niewymierna. Nie można jednak jednoznacznie stwierdzić, że suma dwóch liczb niewymiernych jest niewymierna (\(\displaystyle{ \sqrt{2}+(-\sqrt{2})}\)). Jak udowodnić, że prawa strona tego równania jest niewymierna?
Mam tylko jedno pytanie do tego - w tym ostatnim równaniu korzystasz właściwie z tego, że suma \(\displaystyle{ 2+3\sqrt[3]{2}\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2})+2\sqrt{2}}\) jest niewymierna. Nie można jednak jednoznacznie stwierdzić, że suma dwóch liczb niewymiernych jest niewymierna (\(\displaystyle{ \sqrt{2}+(-\sqrt{2})}\)). Jak udowodnić, że prawa strona tego równania jest niewymierna?
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
suma pierwiastków
a rzeczywiście coś mi się pomyliło przy wnioskowaniu. poprawię ten post i wrzucę poprawne rozwiązanie....
[ Dodano: 26 Grudnia 2007, 11:39 ]
poprawiłem rozwiązanie, powinno być już dobrze. pewnie jest jakiś ładniejszy sposób ale cóż:)
[ Dodano: 26 Grudnia 2007, 11:39 ]
poprawiłem rozwiązanie, powinno być już dobrze. pewnie jest jakiś ładniejszy sposób ale cóż:)
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
suma pierwiastków
A może prościej, załóżmy, że k jest wymierne:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}=k \\ \sqrt[3]{2}=k-\sqrt{2} \ | \ ()^3 \\ 2=k^3-3k^2\sqrt{2}+6k-2\sqrt{2} \\ \sqrt{2}(3k^2+2)=k^3+6k-2 \\ \sqrt{2}=\frac{k^3+6k-2}{3k^2+2}}\)
Po lewej stronie liczba niewymierna - po prawej skończona kombinacja czterech podstawowych działań arytmetycznych na liczbach wymiernych - sprzeczność. Zatem k jest niewymierna.
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}=k \\ \sqrt[3]{2}=k-\sqrt{2} \ | \ ()^3 \\ 2=k^3-3k^2\sqrt{2}+6k-2\sqrt{2} \\ \sqrt{2}(3k^2+2)=k^3+6k-2 \\ \sqrt{2}=\frac{k^3+6k-2}{3k^2+2}}\)
Po lewej stronie liczba niewymierna - po prawej skończona kombinacja czterech podstawowych działań arytmetycznych na liczbach wymiernych - sprzeczność. Zatem k jest niewymierna.