suma pierwiastków

[Efendi]

Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} +\sqrt[3]{2}}\) jest liczbą niewymierną.

[jarekp]

w ten sposób już chyba działa

dowód nie wprost
wiemy, że \(\displaystyle{ \sqrt[3]{2}}\) jest liczbą niewymierną (dowód przebiega tak samo jak przy niewymierności \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\))

załóżmy teraz, że \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}}\) jest wymierna
wymierna jest wtedy liczba \(\displaystyle{ (\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})^2=2+2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2}\)
czyli \(\displaystyle{ 2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2 Q}\)

wtedy także \(\displaystyle{ (2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2)^2 Q}\)
\(\displaystyle{ (2\sqrt{2} \sqrt[3]{2}+(\sqrt[3]{2})^2)^2=8(\sqrt[3]{2})^2+8\sqrt{2}+2\sqrt[3]{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ 4(\sqrt[3]{2})^2+4\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} Q}\)

wtedy liczba \(\displaystyle{ A=4(\sqrt[3]{2})^2+4\sqrt{2}+\sqrt[3]{2} - 4(\sqrt{2} + \sqrt[3]{2})=4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2}}\) jest wymierna, jako suma dwóch liczb wymiernych

skoro liczba jest \(\displaystyle{ 4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2} Q}\) to także liczba
\(\displaystyle{ (4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2})^2 =32\sqrt[3]{2}-48+9(\sqrt[3]{2})^2 Q}\)

czyli liczba\(\displaystyle{ B=32\sqrt[3]{2}+9(\sqrt[3]{2})^2}\) jest wymierna

czyli liczba \(\displaystyle{ 9A-4B}\) jest wymierna

ale \(\displaystyle{ 9A-4B=9(4(\sqrt[3]{2})^2-3\sqrt[3]{2})-4(2\sqrt[3]{2}+9(\sqrt[3]{2})^2)=
-25\sqrt[3]{2}}\)

i tutaj dochodzimy do sprzeczności gdyż z prawej strony mamy liczbę niewymierną a z lewej wymierną

Zatem \(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}}\) jest niewymierna
q.e.d

[Efendi]

Wielkie dzięki!
Mam tylko jedno pytanie do tego - w tym ostatnim równaniu korzystasz właściwie z tego, że suma \(\displaystyle{ 2+3\sqrt[3]{2}\sqrt{2}(\sqrt{2}+\sqrt[3]{2})+2\sqrt{2}}\) jest niewymierna. Nie można jednak jednoznacznie stwierdzić, że suma dwóch liczb niewymiernych jest niewymierna (\(\displaystyle{ \sqrt{2}+(-\sqrt{2})}\)). Jak udowodnić, że prawa strona tego równania jest niewymierna?

[jarekp]

a rzeczywiście coś mi się pomyliło przy wnioskowaniu. poprawię ten post i wrzucę poprawne rozwiązanie....

[ Dodano: 26 Grudnia 2007, 11:39 ]
poprawiłem rozwiązanie, powinno być już dobrze. pewnie jest jakiś ładniejszy sposób ale cóż:)

[Sylwek]

A może prościej, załóżmy, że k jest wymierne:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} + \sqrt[3]{2}=k \\ \sqrt[3]{2}=k-\sqrt{2} \ | \ ()^3 \\ 2=k^3-3k^2\sqrt{2}+6k-2\sqrt{2} \\ \sqrt{2}(3k^2+2)=k^3+6k-2 \\ \sqrt{2}=\frac{k^3+6k-2}{3k^2+2}}\)

Po lewej stronie liczba niewymierna - po prawej skończona kombinacja czterech podstawowych działań arytmetycznych na liczbach wymiernych - sprzeczność. Zatem k jest niewymierna.