równanie diofantyczne

Efendi · Post autor: **Efendi** » 18 gru 2007, o 20:14

Rozwiązać w liczbach naturalnych równanie:
3x+5y+6z=64

*Kasia · Post autor: *Kasia » 18 gru 2007, o 21:31

Prawa strona daje resztę 1 przy dzieleniu przez 3, \(\displaystyle{ L\equiv 5y (mod\ 3)}\)
Czyli y jest parzyste. Potem z przystawania do 2, wychodzi, że x też jest parzyste. Przystawanie modulo 6 (\(\displaystyle{ 5y\equiv 4(mod\ 6)}\)), czyli \(\displaystyle{ y\in\{2;8\}}\).
Rozpatrywałabym przypadki i dalej kombinowała...

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 18 gru 2007, o 21:43

*Kasia pisze: Czyli y jest parzyste.

Blisko, ale nie do końca.
\(\displaystyle{ L\equiv 5y \equiv -y \equiv 1 \ (mod3)}\)
Czyli \(\displaystyle{ y\equiv -1 \ (mod3)}\)
Ostatecznie \(\displaystyle{ y\in \{2,5,8\}}\)
Z tego otrzymujesz trzy oddzielne proste równania:
\(\displaystyle{ x+2z=18 \\ x+2z=13 \\ x+2z=8}\), a to juz idzie bardzo łatwo

JankoS · Post autor: **JankoS** » 20 gru 2007, o 01:07

Nie chce mi się przypominać, co znaczy równość modulo, więc za przykładem bohatera Mrożka "pojechałem " konwecjonalnie:
\(\displaystyle{ 3x+6z=64-5y\\x+2z==\frac{64-5y}{3}.}\)
Sprawdzam podzielność różnicy przez 3 dla kolejnych wartości y i dostaję y \(\displaystyle{ \in \{2,5,8,11\}.}\)
Nie wierzę, żeby moderatorzy się pomylili, więc sprawdzam ostatnią wartość:
\(\displaystyle{ 3 1+5 11+6 1.}\)
Jak bym nie dodawał to wychodzi 64?... Jest późno, a ludzie bywają omylni.