Ciężka kwiestia związana z nieskończonością i liczbą 0,(9)=1

[robomanus]

Witam! Chciałbym rozwiązać raz na zawsze pewien spór dotyczący równości liczby 0,(9) i 1. Otóż mam w klasie kolegów którzy twierdzą, że liczba ta jest mniejsza od zera. Przedstawiłem im 6 dowodów które potwierdzają tą tezę, ale żaden z nich ich nie przekonuje. Również pan od fizyki i pani od matematyki są po mojej stronie Twierdzą oni (ci koledzy), że liczba ta jest mniejsza o 0,(0)1 Pytanie podstawowe, czy taka liczba istnieje? Bo skoro ma okresowość, to nigdy nie "dojdzie" do tej 1. Jednak zwątpiłem w to kiedy pomnożyłem 0,(6)*3 . Normalnie powinno wyjść dwa, ale spójrzmy na to z innej strony:
0,6 * 3 = 1,8
0,66 * 3 = 1,98
0,666 * 3 = 1,998
0,6666 * 3 = 1,9998

zatem:
0,(6) * 3 = 1,(9)8

Przynajmniej tak to wygląda. Domagam się wyjaśnień. Z góry dzięki

[Szemek]

Jeszcze inny dowód
\(\displaystyle{ 0,(9) = 0,9 + 0,09 + 0,009 + ...}\)
\(\displaystyle{ 0,(9)}\) można zapisać w postaci szeregu geometrycznego, gdzie wyrazem pierwszym (\(\displaystyle{ a_1}\)) jest \(\displaystyle{ 0,9}\) a każdy następny powstaje przez pomnożenie przez \(\displaystyle{ 0,1}\) (\(\displaystyle{ q}\))
Sumę takiego szeregu można policzyć ze wzoru \(\displaystyle{ S=\frac{a_1}{1-q}}\), gdzie musi być spełniony warunek \(\displaystyle{ |q|}\)

[Sylwek]

Było miliardy razy, np.:


https://www.matematyka.pl/viewtopic.php?t=20240

[BartekPwl]

Witam! Chciałbym rozwiązać raz na zawsze pewien spór dotyczący równości liczby 0,(9) i 1. Otóż mam w klasie kolegów którzy twierdzą, że liczba ta jest mniejsza od zera. Przedstawiłem im 6 dowodów które potwierdzają tą tezę, ale żaden z nich ich nie przekonuje.

Zaraz, chwila. Pokazałeś im 6 dowodów na to że jest mniejsza od zera, czy na że jest większa od zera? Trochę się zamotałeś:) Druga sprawa: dlaczego dowody ich nie przekonują? Znaleźli w nich błąd?

Twierdzą oni (ci koledzy), że liczba ta jest mniejsza o 0,(0)1

To stwierdzenie jest po prostu głupie i bezsensowne

Pytanie podstawowe, czy taka liczba istnieje?

Co rozumiesz pisząc "istnieje" w tym kontekście?

Bo skoro ma okresowość, to nigdy nie "dojdzie" do tej 1.

Ale przecież ona nigdzie nie "idzie". To ja cię zapytam czy liczba \(\displaystyle{ \pi}\) istnieje? Bo skoro jest niewymierna, to można pisać jej kolejne przybliżenia (3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; itd) ale te przybliżenia nigdy do niej nie "dojdą".

Jednak zwątpiłem w to kiedy pomnożyłem 0,(6)*3 . Normalnie powinno wyjść dwa, ale spójrzmy na to z innej strony:
0,6 * 3 = 1,8
0,66 * 3 = 1,98
0,666 * 3 = 1,998
0,6666 * 3 = 1,9998

zatem:
0,(6) * 3 = 1,(9)8

Przynajmniej tak to wygląda. Domagam się wyjaśnień. Z góry dzięki

Ok, ale w co zwątpiłeś? I co mamy Ci wyjaśnić? Sprecyzuj swoją postawę i to, jakich wyjaśnień się domagasz

[Piotr Rutkowski]

Ja skwituję krótko:
Twój wniosek:
"zatem:
0,(6) * 3 = 1,(9)8 "
Jest błędny, wyrażenie 1,(9)8 nie ma żadnego sensu matematycznego

[luka52]

W ogóle dyskusje na temat czy 0,(9) to rzeczywiście 1 są bez sensu, bo widać, że osoby które zakładają takie tematy nie potrafią po prostu szukać! Dziwię się, że temat nie został jeszcze zamknięty ...

[JankoS]

Problem równości 0,(9)=1. Dowodzi się tego w szkole podstawowej:
\(\displaystyle{ x=0,999...\\10x=9,999...=9+x\\9x=9\\x=1.}\).
Domyślam się, iż koledzy twierdzą, że ta liczba jest mniejsza od 1 (a nie od zera). Ich problem jest natury psychologicznej lub filozoficznej, a nie matematycnej. Wiąże się to z, trudnym do zaakceptowania, pojęciem nieskończoności. Są rozmaite szkoły, w których rozróżnia się rozmaite rodzaje nieskończoności. Np. według jednej z nich jest tylko nieskończoność dynamiczna tworzona przez człowieka w trakcie jego działania. W ogóle jest to trudny problem.
Co do istnienia liczb 0,(9) i 1? Platon twierdził, że istnieje, niedostępny dla zmysłowego poznania, świat "zamieszkały" przez abstrakcyjne pojęcia, wśród nich liczby. Inni starożytni filozofowie z Grecji twierdzili, że liczby są muzyką niebieskich sfer itd. Polecam Koledze przeczytanie jakiejś książki o historii matematyki, bądź jakąś inną poplarno-naukową, np "Matematykę popularną Waltera R. Fuchsa wydaną przez Wiedzę Powszechną w 1972 roku.
Co do liczby 0,(6). Łatwo (jak poprzednio) pokazać, że \(\displaystyle{ 0,(6)=\frac{2}{3}.}\)
W swoich rachunkach Kolega w sposób intuicyjny, ale matematycznie błędny przenosi się ze skończności w "nieskończoność". Domyślam się, że zapis \(\displaystyle{ 1,(9)8}\) oznacza liczbę, której ostatnią cyfrą jest 8. Problem w tym, że wynik mnożenia \(\displaystyle{ 0,(6) 3}\) nie ma ostatniej cyfry.