Przeglądałam zeszyt z kółka i znalazłam takie zadanie - teoretycznie mam rozwiązane, ale istnieją pewne problemy z odszyfrowaniem całości...
Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych (p,q) takie, że \(\displaystyle{ p|(q+1)\ \ q|(p+1)}\).
Poza tym chyba jest jeszcze uogólnienie tego problemu na liczby naturalne, ale tego już pewna nie jestem.
Liczpy pierwsze p i q (p|(q+1); q|(p+1)).
- Sylwek
- Użytkownik
- Posty: 2716
- Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 160 razy
- Pomógł: 657 razy
Liczpy pierwsze p i q (p|(q+1); q|(p+1)).
Gdy p=q - nietrudno dowieść sprzeczności , skoro zarazem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q q p+1 \iff p q q-1 \\ p q q+1\end{cases}}\)
Toteż:
\(\displaystyle{ p=q-1 p=q+1}\)
Jedyne liczby pierwsze jakie mogą po sobie następować to 2 i 3, sprawdzenie bezpośrednie pokazuje, że istotnie te liczby spełniają warunki zadania, czyli \(\displaystyle{ (p,q) \lbrace (2,3), \ (3,2) \rbrace}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}q q p+1 \iff p q q-1 \\ p q q+1\end{cases}}\)
Toteż:
\(\displaystyle{ p=q-1 p=q+1}\)
Jedyne liczby pierwsze jakie mogą po sobie następować to 2 i 3, sprawdzenie bezpośrednie pokazuje, że istotnie te liczby spełniają warunki zadania, czyli \(\displaystyle{ (p,q) \lbrace (2,3), \ (3,2) \rbrace}\)