Liczpy pierwsze p i q (p|(q+1); q|(p+1)).

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
*Kasia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2826
Rejestracja: 30 gru 2006, o 20:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin/warszawa
Podziękował: 62 razy
Pomógł: 482 razy

Liczpy pierwsze p i q (p|(q+1); q|(p+1)).

Post autor: *Kasia »

Przeglądałam zeszyt z kółka i znalazłam takie zadanie - teoretycznie mam rozwiązane, ale istnieją pewne problemy z odszyfrowaniem całości...

Znajdź wszystkie pary liczb pierwszych (p,q) takie, że \(\displaystyle{ p|(q+1)\ \ q|(p+1)}\).

Poza tym chyba jest jeszcze uogólnienie tego problemu na liczby naturalne, ale tego już pewna nie jestem.
Awatar użytkownika
Sylwek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2716
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 160 razy
Pomógł: 657 razy

Liczpy pierwsze p i q (p|(q+1); q|(p+1)).

Post autor: Sylwek »

Gdy p=q - nietrudno dowieść sprzeczności , skoro zarazem:
\(\displaystyle{ \begin{cases}q q p+1 \iff p q q-1 \\ p q q+1\end{cases}}\)

Toteż:
\(\displaystyle{ p=q-1 p=q+1}\)
Jedyne liczby pierwsze jakie mogą po sobie następować to 2 i 3, sprawdzenie bezpośrednie pokazuje, że istotnie te liczby spełniają warunki zadania, czyli \(\displaystyle{ (p,q) \lbrace (2,3), \ (3,2) \rbrace}\)
ODPOWIEDZ