Nierówność dla n-tej liczby pierwszej.

[*Kasia]

Niech \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza n-tą z kolei liczbę pierwszą. Pokaż, że dla każdego n naturalnego \(\displaystyle{ p_n\leqslant 2^{2^{n-1}}}\).

Prosiłabym o jakąś wskazówkę, naprowadzenie, informację z czego skorzystać, ponieważ nie wiem, z której strony się zabrać za to zadanie.

[andkom]

Zrób dowód przez indukcję.
Skorzystaj z tego, że
\(\displaystyle{ p_{n+1}\leqslant p_1\cdot p_2\cdot\cdots\cdot p_n+1}\)
(zauważ, że \(\displaystyle{ p_1\cdot p_2\cdot\cdots\cdot p_n+1}\) nie dzieli się przez żadną z liczb pierwszych \(\displaystyle{ p_1,p_2,\ldots,p_n}\), więc musi się dzielić przez którąś kolejną liczbę pierwszą, równą co najmniej \(\displaystyle{ p_{n+1}}\)).

Z drugiej strony wiadomo, że jest dużo lepiej: \(\displaystyle{ p_n}\) jest rzędu \(\displaystyle{ n\ln n}\).

[*Kasia]

Sam dowód wychodzi mi jakoś tak:
\(\displaystyle{ p_{k+1}\leqslant p_1\cdot ... p_k+1\leqslant 2^{2^k-1}+1\leqslant 2^{2^k}}\)
Mam tylko pytanie, czy ostatnie przekształcenie mogę zrobić, czy trzeba to jakoś udowadniać (jak dla mnie to jest oczywiste, ale kto wie...)

[andkom]

\(\displaystyle{ 2^{2^k-1}+1\leqslant2^{2^k-1}+2^{2^k-1}=2^{2^k}}\)