Znajdź liczby pierwsze

[beata1964]

Mam problem z takimi 2 zadankami:
1. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p,q takie, że p jest dzielnikiem \(\displaystyle{ q+1}\) i \(\displaystyle{ q}\) jest dzielnikiem \(\displaystyle{ p+1}\).
2. Niech liczby \(\displaystyle{ p _{1} , p _{2} , p _{3},...,p_{n}}\) będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Czy liczba \(\displaystyle{ p _{1}p _{2}p _{3}...p _{n}+1}\) może być kwadratem liczby naturalnej?
Dziękuję za wszelkie wskazówki!!!!!

".................."-ozdobnik tematu?
Lepiej korzystać z Latex-a - polskimisiek

[Piotr Rutkowski]

1)
Łatwo idzie, mamy:
\(\displaystyle{ p|q+1 \\ q|p+1}\)
Czyli \(\displaystyle{ p\leq q+1 q\leq p+1}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ q+1=ap p+1=bq}\)
Załóżmy, że żadna z liczb p,q nie jest parzysta, wtedy z podanych nierówności mamy:
\(\displaystyle{ (q\leq p+1 p\leq q+1) p-1\leq q q p+1}\)
Skoro liczba q nie jest parzysta, a liczby \(\displaystyle{ p-1, p+1}\) z założenia są parzyste, to
\(\displaystyle{ (p-1 p=3}\) lub na odwrót

2)
\(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}+1=2n+1=a^{2}\Rightarrow a=2l+1}\)
Dalej:
\(\displaystyle{ a^{2}-1=(a+1)(a-1)=p_{1}p_{2}...p_{n}}\)
\(\displaystyle{ a+1\equiv 0 (mod2) \\ a-1 \equiv 0 (mod2) 4|a^{2}-1}\)
Ale oczywistym jest, że:
\(\displaystyle{ p_{1}p_{2}...p_{n}\neq 4s}\), bo w rozkładzie tego iloczynu na czynniki pierwsze dwójka występuje tylko raz.
Otrzymujemy zatem, że prawa strona jest podzielna przez 4, a lewa nie, co prowadzi do tego, że:
\(\displaystyle{ a=1}\), ale \(\displaystyle{ a=1}\) nie spełnia równania, a więc ta równość nie może zachodzić

[mol_ksiazkowy]

. Niech liczby \(\displaystyle{ p _{1} , p _{2} , p _{3},...,p_{n}}\) będą kolejnymi liczbami pierwszymi. Czy liczba \(\displaystyle{ p _{1}p _{2}p _{3}...p _{n}+1}\) może być kwadratem liczby naturalnej?

no ja to rozumiem tak , ize "kolejnymi" tj niekoniecznie p1jest ta pierwsza, a wiec wtedy moze byc -wiec prosze to uscislic, dobrze?, np
p1=5, p2=7
a=6

[Piotr Rutkowski]

Raczej po prostu nie zostało dopisane założenie \(\displaystyle{ p_{1}=2}\)