zadanie z elementów algebry abstrakcyjnej

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
gawi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 96
Rejestracja: 10 mar 2007, o 14:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: O-ka
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 1 raz

zadanie z elementów algebry abstrakcyjnej

Post autor: gawi »

Hej, mam problem z takim zadankiem: "Ile działań dwuargumentowych można określić w zbiorze k-elementowym? Ile z nich jest przemiennych?"

Z pierwszą częścią chyba sobie poradziłem, natomiast z drugą częścią zadania mam większy problem więc proszę o pomoc
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

zadanie z elementów algebry abstrakcyjnej

Post autor: klaustrofob »

działanie to funkcja z \(\displaystyle{ X\times X\to X}\), więc wszystkich działań jest tyle, ile odpowiednich funkcji, czyli w tym przypadku \(\displaystyle{ k^{k^2}}\). działań przemiennych jest \(\displaystyle{ k^k\cdot (\frac{k(k-1)}{2})^k}\) - najpierw w dowolny sposób określamy je dla elementów postaci (x,x), których jest k, a następnie w dowolny (i niezależny od poprzedniego) sposób na POŁOWIE elementów zbioru (x,y), gdzie xy. na drugą połowę rozszerzamy działanie przez symetrię.
Awatar użytkownika
arek1357
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5703
Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: blisko
Podziękował: 129 razy
Pomógł: 524 razy

zadanie z elementów algebry abstrakcyjnej

Post autor: arek1357 »

Działań przemiennych (ilość) takich że: ab=ba można utożsamiać z ilością
dwuelementowych zbiorów {x,y} , gdzie x i y należy doX
łatwo się przekonać że takich par będzie:

\(\displaystyle{ x=k+ {k\choose 2}}\)

w związku z tym zastanawiam się czy tam nie powinno być + zamiast razy
skoro zliczamy razem wszystkie pary

\(\displaystyle{ 2^{x}}\)
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

zadanie z elementów algebry abstrakcyjnej

Post autor: klaustrofob »

tak, masz rację. powinno być jednak \(\displaystyle{ (k+\frac{k(k-1)}{2})^k}\). przepraszam
ODPOWIEDZ