Zadanie Pokazać, że grupą jest Zbiór Fi(n)

majchro · Post autor: **majchro** » 3 gru 2007, o 11:58

Jak pokazać, że grupą jest zbiór

\(\displaystyle{ \Phi(n) = \{a \mathbb{N} : 1 qslant a qslant n NWD(a,n)=1 \}}\)

z działaniem a*b = a \(\displaystyle{ \dot{n}}\) b

?

Istnienie el neutralnego, tak jak w zbiorach modulo n to 1

Problem jest w elemencie odwrotnym. Wiem, że tak jest, że w dowolnym zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{Z}_n}\) , elementami odwrotnymi są elementy względnie pierwsze z n. Nie wiem jednak jak to udowodnić

Proszę o pomoc.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 3 gru 2007, o 12:13

Nie rozumiem za bardzo co to za działanie n z tą kropeczką u góry???

majchro · Post autor: **majchro** » 3 gru 2007, o 12:14

Działanie modulo n, czyli a * b mod n

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 3 gru 2007, o 12:23

jest takie twierdzenie proste że jeśli (x,n)=1
to istnieją takie a i b że:

ax+bn=1

znajdziesz to w sumie wszędzie a skoro w dziaaniu modulo masz bn=0
otrzymujemy że:ax=1
czyli że dowolny element x ma element odwrotny

cnd..

majchro · Post autor: **majchro** » 3 gru 2007, o 12:27

Proste jak budowa cepa. Niestety nie ćwiczę regularnie zadań z algebry i nie wpadłem na to , żeby użyć tego podstawowego poniekąd twierdzenia

Wielkie dzięki

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 3 gru 2007, o 12:28

Grupa multiplikatywna ciała ilorazowego:

\(\displaystyle{ P_{|I}}\)

jest izomorficzna z elementami wzglądnie pierwszymi

a skoro to grupa to tamto też gdzie I ideał maxymalny generowany przez liczbę 2 np.

majchro · Post autor: **majchro** » 3 gru 2007, o 12:32

Ok, tego już nie rozumie. Dopiero zaczynam się uczyć do kolokwium :/ Narazie styknie mi to pierwsze wytłumaczenie

Ale zaraz zaraz, co do tego pierwszego wytłumaczenia i twierdzenia

że jeśli (x,n)=1 to istnieją a,b takie że ax + bn = 1.

Na pewno możemy użyć tutaj tego twierdzenia ? Przecież ax +bn niekoniecznie należy do naszego zbioru Fi, twierdzenie działa dla zbioru liczb N, prawda ?

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 3 gru 2007, o 14:51

Możemy możemy użyć jak najbardziej

[ Dodano: 3 Grudnia 2007, 14:52 ]
nasze twierdzenie jest uniwersalne tylko zmienia się dziaanie w zbiorze fi

[ Dodano: 3 Grudnia 2007, 14:54 ]
bn i tak będzie zerem a a musi być i tak względnie pierwsze z n
czyli należy do FII

majchro · Post autor: **majchro** » 3 gru 2007, o 15:33

Ok, jeszcze raz dzięki.