liczby pierwsze

[beata1964]

Proszę o wskazówki do zadań poniższych. Nie mam na nie pomyslu!!!!
1. Znajdź taką liczbe naturalną n, że zbiór {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} zawiera najwięcej liczb pierwszych.
2. Czy liczby p, p+6, p+18, p+24, p+30 mogą być jednocześnie liczbami pierwszymi?
3. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p, q, r takie, że p+q+r= pq+1
4. Znajdź wszystkie liczby pierwsze p takie, że liczba p+1 jest szescianem liczby naturalnej.
Z góry dziękuję za pomoc.

[Piotr Rutkowski]

1) Co druga liczba naturalna jest podzielna przez dwa. Jeśli więc w tym zbiorze nie ma liczby 2, to liczb pierwszych jest maksimum 3. Sprawdzając ręcznie n=2 otrzymujemy 4 liczby pierwsze i to jest nasza szukana wartość.
2)Oczywiście \(\displaystyle{ p\in P}\) Sprawdzasz ręcznie dla p=2, p=3, p=5
Potem robimy założenie \(\displaystyle{ p>5}\) i łatwo udowodnić, że któraś z naszych liczb będzie musiała być podzielna przez 5, co prowadzi do sprzeczności
4)\(\displaystyle{ p+1=a^{3}}\)
\(\displaystyle{ p=a^{3}-1}\)
\(\displaystyle{ p=(a-1)(a^{2}+a+1)}\)
Oczywiście:
\(\displaystyle{ a-1 a^{2}+a+1=p}\)
\(\displaystyle{ p=7}\)
3)\(\displaystyle{ p+q+r= pq+1}\)
\(\displaystyle{ r=(q-1)(p-1) r\in P}\)
Z tego już łatwo wywnioskować, że:
\(\displaystyle{ (p=r=2 q=3)\vee (q=r=2 p=3)}\)

[kuch2r]

Ad.4
Niech:
\(\displaystyle{ p\in P,\ n\in N}\)
Zalozmy, ze p+1 jest szescianem liczby naturalnej:
Wowczas:
\(\displaystyle{ p+1=n^3\\
p=n^3-1=(n-1)\cdot (n^2+n+1)}\)
Rozwazamy sytuacje gdy:
\(\displaystyle{ n-1=1}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ n=2}\)
Wowczas:
\(\displaystyle{ p=7}\)

Drugi przypadek:
\(\displaystyle{ n^2+n+1=1}\)
Rozwazajac 2 przypadek dochodzimy do sprzecznosci.
Zatem jedyna liczba pierwsza spelniajaca warunki naszego zadania jest liczba \(\displaystyle{ 7}\)

[beata1964]

Witam,
dzięki za pomoc. Wydaje mi się jednak, że w drugim zadaniu musimy zalożyć, że liczba pierwsza p jest jednakowa dla wszystkich założeń tzn. i dla p i dla p+8 i dla p+16 itd.

[ Dodano: 2 Grudnia 2007, 19:49 ]
poprawa: jednakowa i dla p, p+6, p+18, p+24, p+30

[bosa_Nike]

Sprawdź \(\displaystyle{ p=13}\) i ogólnie liczby pierwsze postaci \(\displaystyle{ 5k+3}\).
Liczby postaci \(\displaystyle{ 5k+1,\ 5k+2,\ 5k+4}\) nie spełniają z wyżej podanego powodu.