Dowód że ułamek jest nieskracalny

matematix · Post autor: **matematix** » 27 lis 2007, o 19:54

Udowodnij, że dla \(\displaystyle{ n N}\) ułamek \(\displaystyle{ \frac{14n+3}{21n+4}}\) jest nieskracalny.
Proszę o pomoc, chociaż jakąś wskazówkę.

*Kasia · Post autor: *Kasia » 27 lis 2007, o 19:56

Skorzystaj ze sposobu na szukanie NWD:
\(\displaystyle{ NWD_{14n+3;\ 21n+4}=NWD_{14n+3;\ (21n+4)-(14n+3)}=...}\)

matematix · Post autor: **matematix** » 27 lis 2007, o 19:59

nie wiem za bardzo o co chodzi...

*Kasia · Post autor: *Kasia » 27 lis 2007, o 20:03

\(\displaystyle{ NWD_{14n+3;\ 21n+4}=NWD_{14n+3;\ (21n+4)-(14n+3)}=NWD_{14n+3;\ 7n+1}=NWD_{7n+1;7n+2}=NWD_{7n+1;1}=1}\)
Jeśli NWD wspólny dzielnik licznika i mianownika jest równy 1, to ułamek jest nieskracalny.

limes123 · Post autor: **limes123** » 22 sty 2008, o 22:08

Można też tak:
niech \(\displaystyle{ NWD(14n+3,21n+4)=d}\)
Mamy:
\(\displaystyle{ 14n+3=kd}\) oraz \(\displaystyle{ 21n+4=ld}\) gdzie k, d są liczbami względnie pierwszymi.
Mamy:
\(\displaystyle{ 3(14n+3)-2(21n+4)=d(3k-2l)}\) z czego wynika, że \(\displaystyle{ d=1}\) czyli dany ułamek jest nieskracalny.

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 22 sty 2008, o 22:13

Hmm, czy tylko ja nie rozumiem drugiego rozwiązania?
Jak dla mnie niepoprawne jest.

mol_ksiazkowy · Post autor: **mol_ksiazkowy** » 22 sty 2008, o 22:26

mocniej nieskracalny jest ulamek w:
\(\displaystyle{ w=\frac{2n+1}{3n+1}}\)

Qń · Post autor: Qń » 22 sty 2008, o 23:40

polskimisiek pisze:drugiego rozwiązania?
Jak dla mnie niepoprawne jest.

Idea jak najbardziej poprawna i eleganckie - pokazujemy, że \(\displaystyle{ 1=d cos \ calkowitego}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ \left|d \right| =1}\), czyli to co trzeba. Tylko tam jedna literówka się wkradła, bo to k i l są względnie pierwsze, a nie k i d. No i d może też być minus jedynką, co oczywiście nic nie psuje.

Pozdrawiam.
Qń.

Piotr Rutkowski · Post autor: **Piotr Rutkowski** » 22 sty 2008, o 23:48

Qń pisze:bo to k i l są względnie pierwsze, a nie k i d

W takim razie nie mam już żadnych zastrzeżeń

limes123 · Post autor: **limes123** » 23 sty 2008, o 13:02

Przepraszam za literówkę:P A swoją drogą to widziałem w którymś numerze magazynu "Matematyka" cały artykuł poświęcony właśnie takim ułamkom. Jak Cię to będzie bardziej interesować to możesz poszukać:)