Względnie pierwsze i podzielność przez 24

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Daumier
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 93
Rejestracja: 14 lut 2007, o 23:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

Względnie pierwsze i podzielność przez 24

Post autor: Daumier »

Udowodnij, że jeżeli liczby 12 i n są względnie pierwsze to \(\displaystyle{ n ^{2} - 1}\) jest podzielne przez 24.

Jakieś pomysły, sugestie ?
sigma_algebra1
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 384
Rejestracja: 3 maja 2007, o 22:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 92 razy

Względnie pierwsze i podzielność przez 24

Post autor: sigma_algebra1 »

A może tak:
Jeśli są względnie pierwsze to n ma postać:

12k+1, 12k+5, 12k+7 lub 12k+11.

A wtedy: dla p=1,5,7 lub 11

\(\displaystyle{ (12k+p)^2-1=12^2k^2+2\cdot 12kp+p^2-1}\)

Dwa pierwsze składniki sumy są podzielne przez 24 a
\(\displaystyle{ p^2=1, 25, 49}\) lub \(\displaystyle{ 121}\) odpowiednio dla poszczególnych p

wiec \(\displaystyle{ p^2-1}\) jest również podzielne przez 24.
niewiadomo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 119
Rejestracja: 17 paź 2006, o 17:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z nikąd
Podziękował: 7 razy

Względnie pierwsze i podzielność przez 24

Post autor: niewiadomo »

Można i tak ale można też w taki sposób:

Co to znaczy że n i 12 są względnie pierwsze, to znaczy że n nie ma żadnego wspólnego dzielnika liczby 12, czyli nie jest podzielny przez 2,3,4,8,12.

\(\displaystyle{ n^{2}-1=(n-1)(n+1)}\)
Zauważmy że (n-1) n i n+1 to kolejne trzy liczby naturalne i wiemy, że n nie jest podzielne przez 3, a wśród 3 kolejnych liczb naturalnych musi jedna z nich być podzielna przez 3, czyli n-1 badz n+1 jest podzielne na 3. Wiedząc ze n nie dzieli się na 2 i na 4, widzimy że n jest liczbą nieparzysta, czyli n-1 i n+1
to liczby parzyste=>podzielne przez dwa, co wiecej, jedna z nich jest podzielna przez 4, wsród dwóch kolejnych liczbach parzystych jedna z nich jest podzielna na 4.
ODPOWIEDZ