Liczby pierwsze

[wb]

Znajdź wszystkie trójki liczb pierwszych p, q, r takie, że: \(\displaystyle{ p^q+q^p=r}\)

[*Kasia]

Ponieważ r>2, to p lub q jest parzyste, a więc równe 2. Bez utraty ogólności można przyjąć, że p=2. Wtedy:
\(\displaystyle{ 2^q+q^2=r}\)
1. q=3
2. \(\displaystyle{ q\neq 3}\)
Wtedy q nie jest podzielne przez 3, a więc \(\displaystyle{ q^2\equiv 1\ (mod\ 3)}\)
A ponieważ r>3, to \(\displaystyle{ 2^q\equiv 0\ (mod\ 3)\vee 2^q\equiv 1\ (mod\ 3)}\)
Pierwszy przypadek jest niemożliwy, zatem \(\displaystyle{ 2^q\equiv 1\ (mod\ 3)}\)
Czyli q jest parzyste, sprzeczność.
Jedyna para to (2,3) (lub (3,2)).

[wb]

Dziękuję.