liczby pierwsze zadania

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
tomeks91

liczby pierwsze zadania

Post autor: tomeks91 »

1.Ile jest liczb pierwszych, które nie mogą być różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych
2.Wykaż, że jeżeli 2 ^{n} jest liczbą pierwszą, to i n jest liczbą pierwszą
3.Wykaż, że jeżeli kwadrat liczby pierwszej większej od 3 zmiejszymy o 1, to otrzymamy liczbę podzielną przez 24
4.Rozwiąż w liczbach pierwszych równanie p ^{2}-2q ^{2}=1
5.Rozwiąż w liczbach pierwszych równanie 1/p+1/q+1/r=1
6.Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykaż, że jeżeli p dzieli liczbę, która ma w zapisie p jedynek, to p=3
7.Znaleźć wszystki pary (p,q) liczb pierwszych, że p ^{3}-q ^{5}=(p+q) ^{2}
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

liczby pierwsze zadania

Post autor: klaustrofob »

1) jeżeli liczba jest różnicą kwadratów, \(\displaystyle{ p=a^2-b^2}\), to \(\displaystyle{ p=(a-b)(a+b)}\), tzn. a-b=1 i a+b=p. jeżeli p jest liczbą nieparzystą, to a=(p+1)/2, b=(p-1)/2. jedynie 2 nie jest różnicą kwadratów.
2) to absurd jakiś
3) \(\displaystyle{ p^2-1=(p-1)(p+1)}\). z trzech kolejnych liczb, p-1, p, p+1 jedna dzieli się przez 3 - ponieważ p nie może dzielić się przez 3, dzieli się p-1 lub p+1. jeśli p jest postaci 4k+1, to \(\displaystyle{ (p-1)(p+2)=4k(4k+2)=8k(2k+1)}\) czyli dzieli się przez 8; jeżeli p jest postaci 4k+3, to \(\displaystyle{ (p-1)(p+1)=(4k+2)(4k+4)=8(k+1)(2k+1)}\) też dzieli się przez 8. zatem \(\displaystyle{ p^2-1}\) zawsze dzieli się przez 3 i 8, a zatem przez 24.
4) gdyby p=2k+1, q=2s+1, to mielibyśmy \(\displaystyle{ 1=p^2-2q^2=4k^2+4k+1-8s^2-8s-2}\) tzn. \(\displaystyle{ 2=4k^2+4k-8s^2-8s}\) co jest niemożliwe, bo prawa strona dzieli się przez 4. stąd wniosek, że albo p, albo q jest liczbą parzystą. oczywiście jest to q=2, a p=3.

6) jeżeli p dzieli liczbę, której zapis składa się z p jedynek, to dzieli też liczbę, której zapis składa się z p 9. czyli liczbę \(\displaystyle{ 10^{p+1}-1}\). z małego twierdzenia Fermata wiemy, że p dzieli liczbę \(\displaystyle{ 10^{p-1}-1}\), o ile p nie jest 2 lub 5 - bezpośrednio sprawdzamy, że te liczby nie spełniają w-ków zadania, można więc założyć, że p jest liczbą od nich różną. w konsekwencji, p dzieli różnicę \(\displaystyle{ 10^{p+1}-1-(10^{p-1}-1)=10^{p-1}\cdot 99}\), czyli p dzieli 99, skąd p=11 lub p=3. p=11 odpada, nie spełnia w-ków, a stąd p=3.
7) rozważając kombinacje reszt modulo 3 jakie mogą dawać p i q, widać że jedynie układy p->0, q->2 (tj. p=3, q=3k+2) oraz p->1, q->0 (p=3k+1, q=3) mogą dać rozwiązanie. p=3 odpada; dla q=3 mamy r-nie \(\displaystyle{ p^3-243=(p+3)^2}\), którego rozwiązaniem jest p=7.
tomeks91

liczby pierwsze zadania

Post autor: tomeks91 »

2. Sorki 2 ^{n}-1
7. Nie rozumiem czemu te reszty są właśnie takie jeśli możesz wyjaśnij.
Awatar użytkownika
Menda
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 105
Rejestracja: 13 wrz 2007, o 15:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 4 razy

liczby pierwsze zadania

Post autor: Menda »

5. 1/p + 1/q + 1/r = 1
pq+qr+rp=pqr
r|pq , p|rq , q|rp
r=q=p=3

Pozdro
Awatar użytkownika
klaustrofob
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1984
Rejestracja: 11 lis 2007, o 07:29
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: inowrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 607 razy

liczby pierwsze zadania

Post autor: klaustrofob »

2) gdyby n=kl, k, l>1, to \(\displaystyle{ 2^{kl}-1=(2^k-1)((2^k)^{l-1}+(2^k)^{l-2}+\ldots+(2^k)+1)}\)
7)ustalanie reszt opiera się na zasadzie: jeżeli p daje resztę r z dzielenia przez 3, to \(\displaystyle{ p^k}\) daje resztę równą reszcie liczby \(\displaystyle{ r^k}\). stąd \(\displaystyle{ p^3}\) daje reszty 0, 1, 2 gdy p daje reszty 0, 1, 2; \(\displaystyle{ q^5}\) daje reszty 0, 1, 2, gdy q daje reszty 0, 1, 2; należy rozważyć wszystkie kombinacje reszt dla p i q. jeżeli znasz kongruencje, rozwiązanie jest nieco bardziej czytelne.
ODPOWIEDZ