Porównywanie potęg

ojciec_kogut · Post autor: **ojciec_kogut** » 14 lis 2007, o 17:04

Zamieściłem to już wcześniej w innym dziale, ale myślę że tu będzie bardziej adekwatne.

Jakie warunki muszą spełniać dodatnie liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\), aby \(\displaystyle{ a ^{b}>b ^{a}}\)?

Na przyszłość odradzam dublowanie postów.

Szczerze mówiąc podałem uogólnienie chodzi mi o porównanie liczb

\(\displaystyle{ \sqrt{2} ^{ \sqrt{3} }}\) oraz \(\displaystyle{ \sqrt{3} ^{ \sqrt{2} }}\).
Jednak najbardziej zależy mi na uogólnieniu.
Jeszcze raz dziękuje.

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 15 lis 2007, o 15:37

Zadanie to sprowadza się do badania funkcji:

\(\displaystyle{ y=\frac{lnx}{x}}\)

dla x>0

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 17 lis 2007, o 19:00

Nie do konca rozumiem o co ojcu kogutowi chodzilo z warunkiem na \(\displaystyle{ a^{b}>b^{a}}\). Chcialby to policzyc bez kalkulatora, jak podejrzewam. Mnie osobiscie zainteresowalo w tym zadaniu znalezienie wszystkich takich \(\displaystyle{ x}\), dla ktorych \(\displaystyle{ a^{x}>x^{a}}\). Jak sie okazuje, dla \(\displaystyle{ a > 1}\) bedzie to przedzial \(\displaystyle{ (a,z)}\) lub \(\displaystyle{ (z,a)}\) zaleznie od tego po ktorej stronie liczby \(\displaystyle{ \mathrm{e}}\) znajduje sie \(\displaystyle{ a}\). Tego \(\displaystyle{ z}\) nie umiem policzyc - tzn nie znalazlem grzecznej, zwartej formuly, ktora by go opisywala. Ciekawe, czy taka formula istnieje, jak sadzicie? Gdyby ladnie rozwiazac rownanie \(\displaystyle{ a = y^{\frac{1}{y-1}}}\), to \(\displaystyle{ z = a^{y}}\).

A tutej odnosnie bezkalkulatorowego liczenia:

\(\displaystyle{ a^{x}>x^{a} \iff x > a\mathrm{log}_{a}x}\)

co mozna przeksztalcic do:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{ln}x}{x} < \frac{1}{a\mathrm{log}_{a}\mathrm{e}}}\)

i ewentualnie tego, co sugerowal arek1357:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{ln}a}{a} > \frac{\mathrm{ln}x}{x}}\)

Mozna to porachowac, ale to porownanie wciaz wymaga kalkulatora w ogolnym przypadku. W szczegolnym (na ktory lapia sie tez kogutowe \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\)) korzystamy z faktu, ze funkcja \(\displaystyle{ \frac{\mathrm{ln}x}{x}}\) ma w \(\displaystyle{ \mathrm{e}}\) swoje maksimum, rosnie po jego lewej stronie i maleje po prawej, dzieki czemu dostajemy fakty: jesli \(\displaystyle{ a bb^{a} \iff \mathrm{e} - a < \mathrm{e}-b}\), analogicznie jesli \(\displaystyle{ a>\mathrm{e} \wedge b>\mathrm{e}}\), to \(\displaystyle{ a^{b}>b^{a} \iff a-\mathrm{e} < b-\mathrm{e}}\).

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 18 lis 2007, o 02:54

jeśli zbadasz tę funkcję będziesz wiedział kiedy dla jakich a i b ta nierówność jest spełniona

\(\displaystyle{ \frac{lnb}{b}>\frac{lna}{a}}\)

jeśli będziesz wiedziiał kiedu to zachodzi będziesz wiedział kiedy zachodzi ta nierównośc

ojciec_kogut · Post autor: **ojciec_kogut** » 18 lis 2007, o 18:58

W sumie do takich wniosków doszedłem. Ale jest taki przypadek , że \(\displaystyle{ 11, bo gdy a}\)

arek1357 · Post autor: **arek1357** » 18 lis 2007, o 19:53

NNo tak w sumie masz racje trzeba to jakoś rozpatrywać indywidualnie i zbadać
kiedy funkcja dla x>e będzie mniejsza od 1

salda_fadla · Post autor: **salda_fadla** » 20 lis 2007, o 13:26

Jest jeden latwy ratunek dla bezkalkulatorowosci, ale czesciowy. Znajdz wiecej szczegolnych przypadkow. Jeden prosty to \(\displaystyle{ a > \mathrm{e}}\), \(\displaystyle{ b < \mathrm{e}}\), \(\displaystyle{ (a-\mathrm{e}) < (\mathrm{e}-b)}\).

Mozesz tez uzyc jakiegos algorytmu o nieskonczenie wielu krokach na karce - policzyc kilka z nich i oszacowac reszte (czyli papierowa symulacja kalkulatora).