[Wyzwanie] |2^x - 3^y| = 1

[salda_fadla]

Znajdz wszystkie pary liczb naturalnych \(\displaystyle{ x,y}\) spelniajace rownanie:
\(\displaystyle{ |2^{x} - 3^{y}| = 1}\)

Odpowiedz uzasadnij.

[edit]
Jak sie czujesz dzisiaj mocny, nie korzystaj rozwiazujac to rownanie z twierdzenia Mihăilescu (jak obecnie nazywa sie hipoteze Catalana wraz z pozytywnym dowodem).

[Piotr Rutkowski]

Dam Ci dużą podpowiedź:
Zgodnie z zagadnieniem Catalana, jedynymi potęgami właściwymi takimi, że:
\(\displaystyle{ a^{k}-b^{l}=1 \\ a,b,k,l\in N}\) jest \(\displaystyle{ a=l=3 \ b=k=2}\)

[salda_fadla]

Nie spodziewalem sie, ze ktos bedzie mial matematyczna wiedze obszerna na tyle, ze od razu zagadnienie Catalana wyciagnie na wierzch. Gratulacje polskimisiek! Jak chcesz, to mozesz teraz ponowic atak (patrz edit pierwszego posta).

[Piotr Rutkowski]

Hmm, biorąc pod uwagę to, że to twierdzenie zostało udowodnione dopiero kilka lat temu myślę, że nawet gdybym znalazł gdzieś w necie dowód tegoż twierdzenia (w co osobiście wątpię) to raczej bym go nie zrozumiał (już raz próbowałem zrozumieć dowód na wielkie twierdzenie fermata ), więc raczej usatysfakcjonuje mnie dowód wykorzystujący dane twierdzenie

[Sylwek]

Trafiłem niechcący na ten temat, ale widzę, że już dość długo pozostaje on bez dowodu nie korzystającego z twierdzenia Mihailescu, toteż zaprezentuję swój sposób. Cały czas będę korzystał ze znanego lematu: \(\displaystyle{ x|y (n^x-1)|(n^y-1)}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y,n \mathbb{N_+}, n 1}\)

Najpierw rozpatrzmy przypadki, gdy \(\displaystyle{ x y \lbrace (1,1),(2,1),(3,2) \rbrace}}\). Teraz niech: \(\displaystyle{ \boxed{x,y 4}}\) i tutaj zakładając istnienie rozwiązań dojdziemy do sprzeczności:


a) (krótszy przypadek) \(\displaystyle{ 2^x-3^y=1 \iff 2^x-4=3^y-3 \iff 4(2^{x-2}-1)=3(3^{y-1}-1)}\), niech mamy: \(\displaystyle{ a=x-2 4-2=2, \ b=y-1 4-1=3}\), toteż: \(\displaystyle{ 4(2^a-1)=3(3^b-1)}\). Mamy zatem: \(\displaystyle{ 4|(3^b-1)}\), a to zachodzi dla \(\displaystyle{ 2|b}\), toteż z lematu: \(\displaystyle{ (3^2-1)|(3^b-1)}\), czyli prawa strona jest podzielna przez 8 - ale lewa strona nie jest podzielna przez 8 - sprzeczność.


b) \(\displaystyle{ 3^y-2^x=1 \iff 2^x-8=3^y-9 \iff 8(2^{x-3}-1)=9(3^{y-2}-1)}\), niech: \(\displaystyle{ a=x-3, b=y-2}\), wówczas mamy równanie: \(\displaystyle{ L=8(2^a-1)=9(3^b-1)=P}\)
(1) rozpatrując lewą stronę modulo 9 otrzymujemy: \(\displaystyle{ 6|a 7|(2^6-1)|(2^a-1)}\)
(2) rozpatrując teraz prawą stronę modulo 7 otrzymujemy: \(\displaystyle{ 6|b 13|(3^6-1)|(3^b-1)}\)
(3) rozpatrując teraz lewą stronę modulo 13 otrzymujemy: \(\displaystyle{ 12|a 5|(2^{12}-1)|(2^a-1)}\)
(4) rozpatrując teraz prawą stronę modulo 5 otrzymujemy: \(\displaystyle{ 4|b 16|(3^4-1)|(3^b-1)}\), przeto prawa strona jest podzielna przez 16, a lewa strona nie - sprzeczność.