mały zestaw
-
mol_ksiazkowy
- Użytkownik
- Posty: 11464
- Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 3157 razy
- Pomógł: 748 razy
mały zestaw
a Ile jest takich par liczb m,n ze \(\displaystyle{ m+n q 10}\) i \(\displaystyle{ 12m^4+13n^4}\) dzieli sie przez 5 b Dla jakich n ostatnia cyfrą \(\displaystyle{ 9n^2+42n}\) jest 6 ? c czy \(\displaystyle{ l=n^3+5n^2+8n+4}\) moze dzielic sie przez p=19, dla jakich n? d a gdy p=23 jaka bedzie wtedy odpowiedz?!
-
arek1357
- Użytkownik
- Posty: 5750
- Rejestracja: 6 gru 2006, o 09:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: blisko
- Podziękował: 131 razy
- Pomógł: 526 razy
mały zestaw
mi się wydaje że każda z tych sum dzieli się przez 5 bo :
\(\displaystyle{ 12(m^{4}+n^{4})+n^{4}}\)
zawsze końcówkę ma 5
koncówki sumy czwartych potęg mogą być:
1+1,6+6,1+6,6+1
czyli 2,2,7,7 jak to pomnożymy przez 12 koncówki będą:
4,4,4,4 jak dodamy jescze koncówkę z n do czwartej zawsze
koncówka wyjdzie 5
[ Dodano: 11 Listopada 2007, 20:49 ]
Pytanie sie sprowadza do rownania:
\(\displaystyle{ 9n^{2}+42n=10x+6}\)
z tego po wyliczeniu:
\(\displaystyle{ x=n^{2}+4n-1-\frac{n^{2}-2n-4}{10}}\)
wystarczy sprawdzi kiedy ostatni ułamek dzieli się przez
10 a zachodzi to tylko dla liczb o końcwce 6 czyli dla:
n=10t+6 dla innych na piechote można sprawdzić że nie zachodzi
po podstawieniu za n ostatniej rowności zgadza się
[ Dodano: 11 Listopada 2007, 22:23 ]
w równaniu weźmy to równanie w ciele modulo 19
\(\displaystyle{ n^{3}+5n^{2}+8n+4=0}\)
załóżmy że n parzyste czyli n=2kmamy:
\(\displaystyle{ 8k^{3}+k^{2}+16k+4=0}\)
dalej:
\(\displaystyle{ 8k(k^{2}+2)+(k^{2}+2)+2=0}\)
\(\displaystyle{ (k^{2}+2)(8k+1)=17}\)
widać wyraźnie że brak tu rozwiązań
połóżmy teraz n=2k+1
po uproszczeniach mamy:
\(\displaystyle{ 4k^{3}+16k^{2}+2k+9=0/:2}\)
otrzymamy:
pamiętając że:
\(\displaystyle{ 9*2^{-1}=14}\)
\(\displaystyle{ 2k^{3}+8k^{2}+k+14=0}\)
\(\displaystyle{ 2k^{2}(k+4)+(k+4)+10=0}\)
\(\displaystyle{ (k+4)(2k^{2}+1)=-10=9}\)
rozwiązując to równanie otrzymamy w konsekwencji:
k=18
czyli n=37
w przypadku modulo 23
postępujemy chyba podobnie...
[ Dodano: 13 Listopada 2007, 12:46 ]
I co dobrze to jest czy nie??
może ktoś ma inny pomysł???
[ Dodano: 13 Listopada 2007, 21:52 ]
w końcu źle czy dobrze
\(\displaystyle{ 12(m^{4}+n^{4})+n^{4}}\)
zawsze końcówkę ma 5
koncówki sumy czwartych potęg mogą być:
1+1,6+6,1+6,6+1
czyli 2,2,7,7 jak to pomnożymy przez 12 koncówki będą:
4,4,4,4 jak dodamy jescze koncówkę z n do czwartej zawsze
koncówka wyjdzie 5
[ Dodano: 11 Listopada 2007, 20:49 ]
Pytanie sie sprowadza do rownania:
\(\displaystyle{ 9n^{2}+42n=10x+6}\)
z tego po wyliczeniu:
\(\displaystyle{ x=n^{2}+4n-1-\frac{n^{2}-2n-4}{10}}\)
wystarczy sprawdzi kiedy ostatni ułamek dzieli się przez
10 a zachodzi to tylko dla liczb o końcwce 6 czyli dla:
n=10t+6 dla innych na piechote można sprawdzić że nie zachodzi
po podstawieniu za n ostatniej rowności zgadza się
[ Dodano: 11 Listopada 2007, 22:23 ]
w równaniu weźmy to równanie w ciele modulo 19
\(\displaystyle{ n^{3}+5n^{2}+8n+4=0}\)
załóżmy że n parzyste czyli n=2kmamy:
\(\displaystyle{ 8k^{3}+k^{2}+16k+4=0}\)
dalej:
\(\displaystyle{ 8k(k^{2}+2)+(k^{2}+2)+2=0}\)
\(\displaystyle{ (k^{2}+2)(8k+1)=17}\)
widać wyraźnie że brak tu rozwiązań
połóżmy teraz n=2k+1
po uproszczeniach mamy:
\(\displaystyle{ 4k^{3}+16k^{2}+2k+9=0/:2}\)
otrzymamy:
pamiętając że:
\(\displaystyle{ 9*2^{-1}=14}\)
\(\displaystyle{ 2k^{3}+8k^{2}+k+14=0}\)
\(\displaystyle{ 2k^{2}(k+4)+(k+4)+10=0}\)
\(\displaystyle{ (k+4)(2k^{2}+1)=-10=9}\)
rozwiązując to równanie otrzymamy w konsekwencji:
k=18
czyli n=37
w przypadku modulo 23
postępujemy chyba podobnie...
[ Dodano: 13 Listopada 2007, 12:46 ]
I co dobrze to jest czy nie??
może ktoś ma inny pomysł???
[ Dodano: 13 Listopada 2007, 21:52 ]
w końcu źle czy dobrze