Czy istnieje liczba

Agatka10000 · Post autor: **Agatka10000** » 9 lis 2007, o 20:03

Czy istnieje liczba naturalna 1, której cyfrą jedności jest ,i o tej włsności, że jeśli przeniesiemy tę jedynkę z ostatniej pozycji na pierwszą, to nowo powstała liczba będzie trzy razy mniejsza niż liczba wyjściowa?

andkom · Post autor: **andkom** » 9 lis 2007, o 21:02

Załóżmy, że nasza liczba ma n cyfr i oznaczmy liczbę utworzoną z pierwszych n-1 cyfr naszej liczby przez x. Mamy
\(\displaystyle{ 10x+1=3(10^{n-1}+x)}\)
czyli \(\displaystyle{ 7x=3*10^{n-1}-1}\).
Pozostaje poszukać takich n, że 7 dzieli \(\displaystyle{ 3*10^{n-1}-1}\)
Okazuje się, że zachodzi to dla n podzielnych przez 6 i wówczas dostajemy liczby:
428571
428571428571
428571428571428571
428571428571428571428571
428571428571428571428571428571
428571428571428571428571428571428571
itd

Agatka10000 · Post autor: **Agatka10000** » 9 lis 2007, o 21:13

Dziękuję