3 zadania z teorii liczb

[19Radek88]

Mam tu jeszcze kilka zadanek z teorii liczb:

1. Udowodnić, że jeśli \(\displaystyle{ n Z}\), to iloczyn \(\displaystyle{ n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}\) dzieli się bez reszty przez \(\displaystyle{ 120}\). (czy wystarczy zauważyć, że wśród czynników są liczby podzielne przez \(\displaystyle{ 1,2,3,4}\) i \(\displaystyle{ 5}\) a \(\displaystyle{ 5!=120}\)?)


2. Wykaż, że dla dowolnej liczby całkowitej \(\displaystyle{ a}\), największy wspólny dzielnik \(\displaystyle{ (a, a+2)}\) jest równy \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 2}\).

3. Dowieźć, że dla\(\displaystyle{ n N}\) liczba \(\displaystyle{ (n+1)^{n}-1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n^2}\).

[andkom]

1.
Tak, ale trzeba jeszcze zauważyć, że czynnik podzielny przez 2 i czynnik podzielny przez 4 to dwa różne czynniki.
Inny dowód (trochę oszukany):
\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{120}=\frac{(n+4)!}{(n-1)!5!}=\binom{n+4}5}\)
co jest całkowite.
Ogólnie: iloczyn k kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez k!.

2.
Jeśli jakaś liczba dzieli a i dzieli a+2, to dzieli też różnicę (a+2)-a=2. Ponieważ liczbę 2 dzielą tylko dwie liczby naturalne: 1 i 2, więc największy wspólny dzielnik liczb a i a+2 jest równy 1 lub 2.

[martaa]

3. \(\displaystyle{ (n+1)^n-1=n(\sum_{i=0}^{n-1}(n+1)^i) \equiv n(\underbrace{1+1+\ldots+1}_{n}) \equiv 0 (modn^2)}\)

[Szemek]

3.
może się przydać do dowodu takie spostrzeżenie
np. \(\displaystyle{ (n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1}\)
przedostatni jednomian ma współczynnik równy potędze, do której wyrażenie zostało podniesione
\(\displaystyle{ (n+1)^n-1=\ldots n n + 1 -1 = \ldots + n^2}\)

[19Radek88]

Jeszcze trochę się w tym gubię : )

Dlaczego

\(\displaystyle{ \frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{5!}=\frac{(n+4)!}{(n-1)!5!}}\)

?

[*Kasia]

Wymnóż licznik i mianownik razy \(\displaystyle{ (n-1)!}\).

[19Radek88]

Dzięki. Już wiem