Znajdź wszystkie liczby naturalne

[19Radek88]

Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których liczba \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ n}\).


Moim zdaniem jedyną taką liczbą jest \(\displaystyle{ n=1}\). Pytanie tylko jak i czy to udowodnić? Oczywistym jest, że \(\displaystyle{ n}\) dzieli \(\displaystyle{ n^{2}+1}\) gdy dzieli - w tym przypadku - wyraz wolny (1). Przekształcenie \(\displaystyle{ n^{2}+1=(n+1)^{2}-2n}\) tylko to potwierdza... Czyż nie?

[soku11]

\(\displaystyle{ \frac{n^2+1}{n}=k\quad k\in\mathbb{C},\ \mathbb{N} \\
\frac{n^2}{n}+\frac{1}{n}=n+\frac{1}{n}=k\\}\)

Aby k bylo calkowite, ulamek musi byc liczba calkowita. Szukamy wiec dzielnikow 1. Bedzie to -1 i 1, ale ze n ma byc naturalne to zostaje tylko 1. POZDRO

[Tristan]

Ma zachodzić \(\displaystyle{ \frac{n^2 +1}{n} \mathbb{N}}\), czyli \(\displaystyle{ n + \frac{1}{n} \mathbb{N}}\), więc \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) ma być liczbą naturalną. A ponieważ jedynym naturalnym dzielnikiem liczby 1 jest liczba 1, więc \(\displaystyle{ n=1}\).