Dane są: \(\displaystyle{ a,b,c,d,n Z}\); takie, że:
\(\displaystyle{ n|ad-bc;}\)
\(\displaystyle{ n|a-b;}\)
\(\displaystyle{ (b,n)=1}\).
Pokaż, że
\(\displaystyle{ n|c-d}\).
- - - - - - - - - - - - - - - - -
Z warunków zadania mamy, że:
\(\displaystyle{ a=k _{1}*n+b}\)
\(\displaystyle{ bc=ad-k _{2}*n}\)
Po przekształceniach dochodzimy do postaci:
\(\displaystyle{ c-d= \frac{n*(k _{1}-k _{2}) }{b} (*)}\)
Jeśli n dzieli c-d, to znaczy oczywiście, że istnieje jakieś k3*n=c-d... tylko jak to tego teraz dojść? Jak skorzystać z informacji, że b i n są względnie pierwsze? Biorę pod uwagę możliwość, że mój sposób rozwiązania nie jest odpowiedni do tego zadania... (?)
Zadanie typu "wykaż, że" z podzielności
- jarekp
- Użytkownik
- Posty: 173
- Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 56 razy
Zadanie typu "wykaż, że" z podzielności
Moje rozwiązanie jest następujące
\(\displaystyle{ n|ad-bc}\) (1)
\(\displaystyle{ n|a-b n|ad-bd}\) (2)
z (1) i (2) wynika że \(\displaystyle{ n|(ad-bd)-(ad-bc)=b(c-d)}\)
czyli \(\displaystyle{ n|b(c-d)}\)
z tego i z tego że \(\displaystyle{ (b,n)=1}\) wynika że \(\displaystyle{ n|c-d}\) c.n.u.
\(\displaystyle{ n|ad-bc}\) (1)
\(\displaystyle{ n|a-b n|ad-bd}\) (2)
z (1) i (2) wynika że \(\displaystyle{ n|(ad-bd)-(ad-bc)=b(c-d)}\)
czyli \(\displaystyle{ n|b(c-d)}\)
z tego i z tego że \(\displaystyle{ (b,n)=1}\) wynika że \(\displaystyle{ n|c-d}\) c.n.u.
-
- Użytkownik
- Posty: 105
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 21:01
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 4 razy
Zadanie typu "wykaż, że" z podzielności
Dzięki. Rozświeltiła mi się pewna oczywista sprawa...
Kontynuując mój zapis:
\(\displaystyle{ (*)}\)
\(\displaystyle{ c-d=\frac{n(k _{1}-k _{2})}{b} b(c-d)=n(k _{1}-k _{2})}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ n}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ b(c-d)}\). Ponieważ jednak \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ b}\)są względnie pierwsze wiemy, że\(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ b}\) więc musi dzielić drugi czynnik a zatem \(\displaystyle{ (c-d)}\). Stąd:
\(\displaystyle{ n|c-d}\) cdbo
Kontynuując mój zapis:
\(\displaystyle{ (*)}\)
\(\displaystyle{ c-d=\frac{n(k _{1}-k _{2})}{b} b(c-d)=n(k _{1}-k _{2})}\)
Oznacza to, że \(\displaystyle{ n}\) dzieli liczbę \(\displaystyle{ b(c-d)}\). Ponieważ jednak \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ b}\)są względnie pierwsze wiemy, że\(\displaystyle{ n}\) nie dzieli \(\displaystyle{ b}\) więc musi dzielić drugi czynnik a zatem \(\displaystyle{ (c-d)}\). Stąd:
\(\displaystyle{ n|c-d}\) cdbo