Sposób zapisu nieparzystych liczb całkowitych

[19Radek88]

Wykaż że kwadrat każdej liczby całkowitej nieparzystej jest postaci 8k+1 gdzie k jest dowolną liczbą \(\displaystyle{ \in}\)Z .... Przyjmując, że dowolna liczba całkowita nieparzysta ma postać : 2n+-1 nie otrzymamy bezpośredniego rozwiązania tego zadania.

Czy można zatem się posłużyć wzorem

\(\displaystyle{ \begin{cases} 4n-1 \\ 4n+1 \end{cases}}\)

dla n\(\displaystyle{ \in}\)Z ? Czy jest to poprawne pod względem zapisu matematycznego?

[Tristan]

Każdą całkowitą liczbę nieparzystą możemy przedstawić w postaci \(\displaystyle{ 2n+1}\). Podnieśmy ją do kwadratu, a otrzymamy \(\displaystyle{ (2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1}\). Zauważmy, że liczba \(\displaystyle{ n(n+1)}\) jest iloczynem dwóch kolejnych liczb całkowitych, więc jedna z nich jest nieparzysta, a druga parzysta ( czyli podzielna przez 2). Czyli ten iloczyn możemy zapisać jako \(\displaystyle{ n(n+1)=2k}\), a z tego wynika, że \(\displaystyle{ (2n+1)^2=4n(n+1)+1=4 2k+1=8k+1}\).

[*Kasia]

Każda liczba nieparzysta przy dzieleniu przez 4 daje resztę 1 albo 3, zatem ten zapis jest jak najbardziej prawidłowy. Jedynie musisz rozpatrzyć dwa przypadki.
Jednak z postaci 2n+1 również masz bezpośrednie rozwiązanie (wystarczy wykazać, że n(n+1) jest liczbą parzystą, a to jest oczywiste).

[ Dodano: 3 Listopada 2007, 13:42 ]

Nie, bo nie rozpatrujesz przypadku \(\displaystyle{ 4n-3,\ 4n+3}\).

A czym się różni \(\displaystyle{ 4n-1}\) od \(\displaystyle{ 4n+3}\) tak w praktyce?

[Tristan]

Zaćmiło mnie. Przepraszam. Oczywiście niczym to się *Kasiu nie różni