podzielność, NWD, liczby pierwsze - zadania

[qaz]

1) Udowodnić, że nie istnieją liczby całkowite \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) takie, że \(\displaystyle{ a^2=2b^2}\)
2) Udowodnić, że \(\displaystyle{ \sqrt{30}}\) jest liczbą niewymierną
3) Pokazać, że \(\displaystyle{ 2^{11}-1}\) nie jest liczbą pierwszą

z góry dziękuję za wszelką pomoc.

[Tristan]

Ad 1:
Załóżmy niewprost, że takie liczby a i b istnieją i spełniają to równanie. Dodatkowo możemy założyć, że liczby te są względnie pierwsze. Przypadek, gdy tak nie jest - łatwo sprowadzisz do tego tego samego typu równania. Zakładamy więc, że \(\displaystyle{ NWD(a,b)=1}\). Z równania wynika, że \(\displaystyle{ a^2}\) musiałoby być podzielne przez 2, czyli \(\displaystyle{ a}\) musiałoby być podzielne przez 2. Więc \(\displaystyle{ a= 2k}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ a^2 = 4k^2}\), więc \(\displaystyle{ 4k^2=2b^2}\), a stąd \(\displaystyle{ b^2= 2k^2}\), czyli rozumując podobnie jak poprzednio\(\displaystyle{ b=2l}\). Dochodzimy do sprzeczności z założeniem, że liczby a i b są względnie pierwsze i spełniają to równanie.
Ad 2:
Czynisz bardzo podobnie jak poprzednio, zakładając niewprost, że istnieją takie liczby naturalne a i b takie, że \(\displaystyle{ \sqrt{30}=\frac{a}{b}}\).

[mol_ksiazkowy]

ad 3 \(\displaystyle{ 2^{11}-1=23*89}\)

[qaz]

ad 3 \(\displaystyle{ 2^{11}-1=23*89}\)

a skąd to wiadomo

[Piotr Rutkowski]

Może dlatego:
\(\displaystyle{ 2^{11}-1=2048-1=2047=23*89}\)