Wykaz dla kazdej l. calk., dla jakich liczb pierwszych...

[Bastuś]

1. Wykaża, że dla każdej liczby całkowitej n liczba \(\displaystyle{ \frac{n}{3}+\frac{n^{2}}{2}+\frac{n^{3}}{6}}\) jest całkowita.
2. Dla jakich \(\displaystyle{ n\in N}\) ułamek \(\displaystyle{ \frac{{n^{3}}-{n^{2}}+2}{n-1}}\) jest liczbą całkowitą?
3. Dla jakich liczb pierwszych\(\displaystyle{ p}\) liczby \(\displaystyle{ p+4}\) i \(\displaystyle{ p+14}\) też są pierwsze?
4.Wiadomo, że dla pewnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ b}\) liczba:
\(\displaystyle{ A=(19a+98b)(20a+97b)...(25a+92b)}\)
dzieli się przez 13. Rozstrzygnij czy dzieli się przez \(\displaystyle{ 13^{7}}\).
5. Liczba \(\displaystyle{ \overline{xy}}\) nie dzieli się przez 3. Uzasadnij, że liczba \(\displaystyle{ x^{2}+y^{2}-xy+2}\) jest podzielna przez 3.

Proszę oczywiście o sposób rozumowania a nie o sam efekt końcowy.

[arek1357]

Pierwsze jest proste

drugie sobie napisz tak:

\(\displaystyle{ \frac{n^{3}-n^{2}+2}{n-1} = n^{2}+\frac{2}{n-1}}\)
a widać że n-1 dzieli 2 czyli musi być 3 lub 2

z 4 tym:

jest więcej rozpisywania:
każdą z liczb iluczynu A możeszpostąpić tak:

np : 19a+98b= 13a+6a + 85b+13b=13a+13b+6a+85b=

13a+13b +13a-7a + 78b+7b(mod 13)= -7a+7b=7(b-a) bo 13|78

postępując tak z każdą liczbą otrzymasz: 6(b-a)

5(b-a) ... (b-a)

czyli widać że w tym iloczynie modulo pozostanie tylko b-a
i jeśli 13 dzieli liczbę A to musi dzielić b-a
a ponieważ tych b-a jest 7 to oczywiście

\(\displaystyle{ 13^{7}| (b-a)^{7} => 13^{7} | A ...}\)

[ Dodano: 28 Października 2007, 21:31 ]
w zadaniu 5 tym:
to xy to inaczej 10x+y skoro nie dzieli się przez 3 możesz zapisać:

10x+y=3k+r gdzie r= 1 lub 2

y=3k-10x+r podnieś to do kwadratu i podstaw do głównego wyrażenie a otrzymasz: po skroceniu:

\(\displaystyle{ (9k^{2}+111x^{2}-63kx-21rx+61kr+r^{2}+2)(mod 3)=r^{2}+2}\)

ale:

\(\displaystyle{ r^{2}+2= 3 lub 6 bo r reszta z dzielenia przez 3}\)

a więc całe wyrażenie dzieli się przez 3 cnd...

[ Dodano: 28 Października 2007, 22:26 ]
p=3 p+4=7 p+14=17
chyba tylko te będą pierwsze

[ Dodano: 29 Października 2007, 20:25 ]
dziękuję

[ Dodano: 29 Października 2007, 20:27 ]
dziękuję