Wykaż, że...

[Amaterasu]

Wykaż, że dla każdego \(\displaystyle{ x \mathbb {R}}\), \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{\lfloor{x}\rfloor}\rfloor}\)=\(\displaystyle{ \lfloor \sqrt{x} \rfloor}\).
Słownie: podłoga pierwiatka z podłogi x = podłoga pierwiastka z x

[ Dodano: 28 Października 2007, 12:48 ]
jedno jeszcze pytanie: czy można to rozwiązać, korzystając z elementarnych wiadomości o zbiorach liczb całkowitych? Czy jest ten dowód prosty, czy wymaga szatańskich zdolności?

[mol_ksiazkowy]

\(\displaystyle{ [\sqrt{n}]= [\sqrt{n+r}] q [\sqrt{n+1}]}\)
\(\displaystyle{ n=[x], \ 0 q r}\)

[Amaterasu]

nie widzę, dlaczego \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\) = \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+r}\rfloor}\)

[ Dodano: 28 Października 2007, 13:17 ]
dobra, dzięki wielki, już zdaje mi się, że to rozumiem...hehe

[ Dodano: 28 Października 2007, 13:20 ]
Jeszcze jedno pytanko...x może być ujemną liczbą...co wtedy? pierwiatek z liczby ujemnej...przy okazji mówię, że nie znam jeszcze teorii liczb zespolonych.

[mol_ksiazkowy]

Amaterasu napisał:

Jeszcze jedno pytanko...x może być ujemną liczbą...co wtedy? pierwiatek z liczby ujemnej...przy okazji mówię, że nie znam jeszcze teorii liczb zespolonych.

wg mnie tu \(\displaystyle{ x q 0}\)

[Amaterasu]

aaa...zacząłem myśleć nad tym znowu...i mam znowu problem...wydaje mi się to oczywiste, ale nie wiem, jak to udowodnić \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\)=\(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+r}\rfloor}\)
Niby jest to oczywiste, ale jak wywnioskować to z aksjomatyki...czy podstawowych własności...
Sorki, że nadal pytam, ale nie wiem, jak tego dowieść...

[ Dodano: 28 Października 2007, 15:20 ]
chwila...czy to się dowodzi przez sprzeczność???
1)załóżmy, że \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\)≠\(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+r}\rfloor}\)
Wtedy jedno z nich jest większe od drugiego.
2)załóżmy, że \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\)

[mol_ksiazkowy]

Amaterasu napisał:

aaa...zacząłem myśleć nad tym znowu...i mam znowu problem...wydaje mi się to oczywiste, ale nie wiem, jak to udowodnić \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\)=\(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+r}\rfloor}\)

Zrob sobie taK: Jesli n nie jest postaci \(\displaystyle{ n=k^2-1}\) to \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\)=\(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+1}\rfloor}\), i wtedy ok, a jak jest tejże postaci no to wtedy:
\(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n}\rfloor}\)=k-1, \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+1}\rfloor= k}\)
i tez ok bo \(\displaystyle{ \lfloor\sqrt{n+r}\rfloor= k-1}\)