Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Arek » 17 mar 2005, o 16:13

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - TEORIA LICZB
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)
1. Czy liczba \(2^{19} \cdot 5^{98}\): a) dzieli sie przez \(19\) i przez \(98\) b) dzieli sie przez \(10\) do \(20\) c) dzieli sie przez \(1000000\) d) dzieli sie przez \(2048\) 2. Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich: a) \(1000\) b) \(1003\) c) \(1002\) d) \(1001\) 3. Czy podana liczba jest podzielna przez \(10\): a) \(6^{2003} - 6\) b) \(5^{2003} - 5\) c) \(4^{2003} - 4\) d) \(7^{2003} - 7\) 4. Ile jest wszystkich liczb \(x\) należących do zbioru \(\left\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ldots, \ 1998\right\}\) takich, że liczba \(x^{2} + 19\) jest podzielna przez: a) \(5\) b) \(4\) c) \(3\) 5. Udowodnić, że liczba \(10^{100} - 9\) jest złożona. 6. Która z liczb jest większa: \(3^{100} - 2^{150}\) czy \(3^{50} - 2^{75}\) 7. Wyznaczyć \(\mathbb{NWD}\) liczb: \(a = 2 \cdot 10^{100} + 1\) \(b = 5 \cdot 10^{100} + 7\) 8. Dla jakich \(n\) naturalnych liczby: \(a = n+4\) \(b = n^2 - 6n + 26\) są względnie pierwsze. 9. Dowieść, że różnica kwadratów dwóch liczb niepodzielnych przez \(3\), dzieli się przez \(3\). 10. Uzasadnić, że zachodzi podzielność: \(33|16^{5} + 2^{15}\) 11. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczb: \(2^{99}\) \(28^{9}\) 12. Pokazać, że jeżeli \(p, \ q\) są liczbami pierwszymi nie mniejszymi od 5, to liczba \(p^{2} - q^{2}\) jest podzielna przez \(24\). 13. Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Pokazać, że ich iloczyn jest liczbą parzystą. 14. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa \(18\). Cyfra jednostek jest dwa razy większa od cyfry setek, a cyfra dziesiątek jest średnią arytmetyczną cyfry setek i cyfry jedności. Jaka to liczba? 15. Liczby o \(45%\) mniejsza i o \(32%\) większa od ułamka okresowego \(0,(60)\) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych względnie pierwszych. Oblicz resztę z dzielenia tego trójmianu przez dwumian \((x-1)\). 16. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, której suma cyfr wynosi \(7\), jeśli wiesz, że po przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę od niej mniejszą. Podaj wszystkie liczby spełniające warunek. 17. Liczby całkowite dodatnie \(a, \ b, \ c\) są parami względnie pierwsze oraz spełniają równanie \(a^{2} + b^{2} = c^{2}\) liczby \(a\) i \(c\) są nieparzyste. Udowodnij że \(b+c\) jest kwadratem liczby całkowitej. 18. Różnica cyfr liczby dwucyfrowej jest równa \(5\). Różnica tej liczby i utworzonej z niej po przestawieniu cyfr jest równa \(45\). Znajdź te liczbę. 19. Niech \(n\) będzie liczbą naturalną większą od \(200\) oraz liczby \(n\) i \(n+2\) będą liczbami pierwszymi. Wykaż, że liczba \(n+1\) jest podzielna przez \(6\). 20. Udowodnij, że liczba pierwsza \(p\), niemniejsza niż \(5\), przy dzieleniu przez \(6\) daje resztę \(1\) lub \(5\). 21. Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej \(p\), niemniejszej niż \(5\), przy dzieleniu przez \(24\) daje resztę \(1\). 22. Znaleźć takie naturalne \(x, \ y\), że: a) \(\left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^y \right) = 12^x\) b) \(18^{xy} = \left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^{4y} \right)\) 23. Rozwiązać w liczbach całkowitych: a) \(x + y = xy\) b) \(x \left( y^2 + 1 \right) = 48\) 24. Znajdź wszystkie liczby naturalne \(n\), dla których \(n^{4}+4\) jest liczbą pierwszą. 25. Wykaż, że: \(100|11^{10}-1\). 26. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(2^{999}\). 27. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa \(10\). Jeżeli cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o \(1\), a cyfrę jedności zmniejszymy o \(4\), to otrzymamy liczbę dwa razy mniejszą od liczby początkowej. Oblicz liczbę początkową. 28. Wykaż, że jeżeli \(n\) należy do \(N\), to liczby postaci \(3n+2003\) nie są kwadratami liczb naturalnych. 29. Dane są liczby \(1, \ 2, \ 3, \ \ldots , \ 200\). Wybieramy dowolnie \(101\) liczb spośród nich. Udowodnij, że niezależnie od wyboru zawsze wśród wybranych znajdą się co najmniej dwie takie liczby, że jedna dzieli drugą. 30. Funkcja Eulera dla argumentu \(a\) przyjmuje wartość \(11424\), \(a = p^{2}q^{2}\), przy czym \(p\) oraz \(q\) są dwiema liczbami pierwszymi różnymi miedzy sobą. Znaleźć liczbę \(a\). 31. Wykaż, że dla dowolnego \(n\) naturalnego, ostatnią cyfrą liczby będącej sumą pierwszych \(n\) liczb naturalnych nie może być żadna z cyfr \(2, \ 4, \ 7, \ 9\). 32. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(n\), zachodzą podzielności: \(11|2^{6n+1 \right) } +3^{2n+2}\) \(25| \left( 2^{n+2} \right) \left( 3^{n} + 5n - 4 \right)\) \(2^{n+2}|3^{ \left( 2^{n} \right) } - 1\) 33. Udowodnij, ze najmniejsza wspólna wielokrotność \(n\) liczb naturalnych \(a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{n}\) jest nie mniejsza od \(n \cdot a_{1}\). 34. Wykaż, że zachodzą podzielności: \(5|3^{18} + 6^{17}\) \(3|8^{9} - 4^{15} + 2^{32} + 16^{7}\) \(19|6^{5} - 12^{3} - 24^{2}\) 35. Wykaż przez indukcję, że: \(133|11^{n+1} + 12^{2n-1}\) 36. Jeśli pewnej liczbie skreślimy ostatnią cyfrę, która jest równa \(8\), to liczba zmniejszy się o \(1313\). Jaka to liczba? 37. Dla jakich \(n\) naturalnych liczba \(3^{n}+7^{n}\) jest podzielna przez \(10\)? 38. Pewna liczba ma cztery dzielniki, których suma wynosi \(176\). Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że suma jej cyfr wynosi \(12\). 39. Znaleźć resztę z dzielenia \(321^{123} - 546^{154}\) przez \(6\). 40. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby: \(38 \left( 199^{991} - 51^{149} \right)\) 41. Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi \(2\).
Ukończony. Ostatnia aktualizacja - 25.03.2005r
Dodany \(\LaTeX\) i poprawione literówki. Ostatnia aktualizacja - 13.01.2013r Ponewor

Awatar użytkownika
tomcio1243
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 19 lut 2009, o 22:46
Płeć: Mężczyzna

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: tomcio1243 » 8 sty 2010, o 12:28

pzrydalaby sie aktualizacja ;]

oszust001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 lut 2007, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krasno

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: oszust001 » 29 lis 2010, o 21:36

ad6 \(3^{100}-2^{150} >< = 3^{50}-2^{75} \Rightarrow (3^{50}-2^{75})(3^{50}+2^{75}) <> = 3^{50}-2^{75}\Rightarrow 3^{50}+2^{75}>1\) czyli liczba \(3^{100}-2^{150}\) jest większa od \(3^{50}-2^{75}\)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2089
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Zahion » 12 sty 2013, o 20:40

5.
\(10 ^{100} - 9 = (10 ^{50} + 3 )( 10^{50} - 3)\)
\((10 ^{50} + 3 ) \neq 1 \wedge 1 \neq 10^{50} - 3\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Ponewor » 13 sty 2013, o 20:58

Zahion, po kliknięciu w numer zadania, pojawia się temat z rozwiązaniem. I właśnie tam znajdziesz rozwiązanie identyczne z Twoim.

Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Biel124 » 18 lut 2018, o 13:18

41.
Zauważmy, że wszystkie dzielniki tej liczby należą do zbioru zawierającego ilorazy danej liczby przez każdy z dzielników. Oznaczmy przez \(S\) sumę odwrotności tych dzielników. Wtedy:
\(S= \frac{1}{a}( d_{1}, d_{2}...)=2\)

ODPOWIEDZ