Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Arek » 17 mar 2005, o 16:13

ZBIÓR ZADAŃ ROZWIĄZANYCH NA FORUM - TEORIA LICZB
(po kliknięciu na numer zadania pojawi się wątek wraz z rozwiązaniem)
1. Czy liczba \(\displaystyle{ 2^{19} \cdot 5^{98}}\):

a) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 19}\) i przez \(\displaystyle{ 98}\)
b) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 10}\) do \(\displaystyle{ 20}\)
c) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 1000000}\)
d) dzieli sie przez \(\displaystyle{ 2048}\)

2. Czy podana liczba jest różnicą kwadratów dwóch liczb całkowitych dodatnich:

a) \(\displaystyle{ 1000}\)
b) \(\displaystyle{ 1003}\)
c) \(\displaystyle{ 1002}\)
d) \(\displaystyle{ 1001}\)

3. Czy podana liczba jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\):

a) \(\displaystyle{ 6^{2003} - 6}\)
b) \(\displaystyle{ 5^{2003} - 5}\)
c) \(\displaystyle{ 4^{2003} - 4}\)
d) \(\displaystyle{ 7^{2003} - 7}\)

4. Ile jest wszystkich liczb \(\displaystyle{ x}\) należących do zbioru \(\displaystyle{ \left\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ldots, \ 1998\right\}}\) takich, że liczba \(\displaystyle{ x^{2} + 19}\) jest podzielna przez:

a) \(\displaystyle{ 5}\)
b) \(\displaystyle{ 4}\)
c) \(\displaystyle{ 3}\)

5. Udowodnić, że liczba \(\displaystyle{ 10^{100} - 9}\) jest złożona.

6. Która z liczb jest większa:

\(\displaystyle{ 3^{100} - 2^{150}}\)

czy

\(\displaystyle{ 3^{50} - 2^{75}}\)

7. Wyznaczyć \(\displaystyle{ \mathbb{NWD}}\) liczb:

\(\displaystyle{ a = 2 \cdot 10^{100} + 1}\)

\(\displaystyle{ b = 5 \cdot 10^{100} + 7}\)

8. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych liczby:

\(\displaystyle{ a = n+4}\)

\(\displaystyle{ b = n^2 - 6n + 26}\)

są względnie pierwsze.

9. Dowieść, że różnica kwadratów dwóch liczb niepodzielnych przez \(\displaystyle{ 3}\), dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).

10. Uzasadnić, że zachodzi podzielność:

\(\displaystyle{ 33|16^{5} + 2^{15}}\)

11. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczb:

\(\displaystyle{ 2^{99}}\)

\(\displaystyle{ 28^{9}}\)

12. Pokazać, że jeżeli \(\displaystyle{ p, \ q}\) są liczbami pierwszymi nie mniejszymi od 5, to liczba \(\displaystyle{ p^{2} - q^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 24}\).

13. Suma dwóch liczb całkowitych jest liczbą nieparzystą. Pokazać, że ich iloczyn jest liczbą parzystą.

14. Suma cyfr liczby trzycyfrowej jest równa \(\displaystyle{ 18}\). Cyfra jednostek jest dwa razy większa od cyfry setek, a cyfra dziesiątek jest średnią arytmetyczną cyfry setek i cyfry jedności. Jaka to liczba?

15. Liczby o \(\displaystyle{ 45%}\) mniejsza i o \(\displaystyle{ 32%}\) większa od ułamka okresowego \(\displaystyle{ 0,(60)}\) są pierwiastkami trójmianu kwadratowego o współczynnikach całkowitych względnie pierwszych. Oblicz resztę z dzielenia tego trójmianu przez dwumian \(\displaystyle{ (x-1)}\).

16. Znajdź taką liczbę dwucyfrową, której suma cyfr wynosi \(\displaystyle{ 7}\), jeśli wiesz, że po przestawieniu jej cyfr otrzymamy liczbę od niej mniejszą. Podaj wszystkie liczby spełniające warunek.

17. Liczby całkowite dodatnie \(\displaystyle{ a, \ b, \ c}\) są parami względnie pierwsze oraz spełniają równanie \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} = c^{2}}\) liczby \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) są nieparzyste. Udowodnij że \(\displaystyle{ b+c}\) jest kwadratem liczby całkowitej.

18. Różnica cyfr liczby dwucyfrowej jest równa \(\displaystyle{ 5}\). Różnica tej liczby i utworzonej z niej po przestawieniu cyfr jest równa \(\displaystyle{ 45}\). Znajdź te liczbę.

19. Niech \(\displaystyle{ n}\) będzie liczbą naturalną większą od \(\displaystyle{ 200}\) oraz liczby \(\displaystyle{ n}\) i \(\displaystyle{ n+2}\) będą liczbami pierwszymi. Wykaż, że liczba \(\displaystyle{ n+1}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

20. Udowodnij, że liczba pierwsza \(\displaystyle{ p}\), niemniejsza niż \(\displaystyle{ 5}\), przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 6}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ 5}\).

21. Udowodnij że kwadrat liczby pierwszej \(\displaystyle{ p}\), niemniejszej niż \(\displaystyle{ 5}\), przy dzieleniu przez \(\displaystyle{ 24}\) daje resztę \(\displaystyle{ 1}\).

22. Znaleźć takie naturalne \(\displaystyle{ x, \ y}\), że:

a) \(\displaystyle{ \left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^y \right) = 12^x}\)

b) \(\displaystyle{ 18^{xy} = \left( 2^{x^{2}} \right) \left( 3^{4y} \right)}\)

23. Rozwiązać w liczbach całkowitych:

a) \(\displaystyle{ x + y = xy}\)

b) \(\displaystyle{ x \left( y^2 + 1 \right) = 48}\)

24. Znajdź wszystkie liczby naturalne \(\displaystyle{ n}\), dla których \(\displaystyle{ n^{4}+4}\) jest liczbą pierwszą.

25. Wykaż, że: \(\displaystyle{ 100|11^{10}-1}\).

26. Wyznacz dwie ostatnie cyfry liczby \(\displaystyle{ 2^{999}}\).

27. Suma cyfr liczby dwucyfrowej jest równa \(\displaystyle{ 10}\). Jeżeli cyfrę dziesiątek tej liczby zmniejszymy o \(\displaystyle{ 1}\), a cyfrę jedności zmniejszymy o \(\displaystyle{ 4}\), to otrzymamy liczbę dwa razy mniejszą od liczby początkowej. Oblicz liczbę początkową.

28. Wykaż, że jeżeli \(\displaystyle{ n}\) należy do \(\displaystyle{ N}\), to liczby postaci \(\displaystyle{ 3n+2003}\) nie są kwadratami liczb naturalnych.

29. Dane są liczby \(\displaystyle{ 1, \ 2, \ 3, \ \ldots , \ 200}\). Wybieramy dowolnie \(\displaystyle{ 101}\) liczb spośród nich. Udowodnij, że niezależnie od wyboru zawsze wśród wybranych znajdą się co najmniej dwie takie liczby, że jedna dzieli drugą.

30. Funkcja Eulera dla argumentu \(\displaystyle{ a}\) przyjmuje wartość \(\displaystyle{ 11424}\), \(\displaystyle{ a = p^{2}q^{2}}\), przy czym \(\displaystyle{ p}\) oraz \(\displaystyle{ q}\) są dwiema liczbami pierwszymi różnymi miedzy sobą. Znaleźć liczbę \(\displaystyle{ a}\).

31. Wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) naturalnego, ostatnią cyfrą liczby będącej sumą pierwszych \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych nie może być żadna z cyfr \(\displaystyle{ 2, \ 4, \ 7, \ 9}\).

32. Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\), zachodzą podzielności:

\(\displaystyle{ 11|2^{6n+1 \right) } +3^{2n+2}}\)

\(\displaystyle{ 25| \left( 2^{n+2} \right) \left( 3^{n} + 5n - 4 \right)}\)

\(\displaystyle{ 2^{n+2}|3^{ \left( 2^{n} \right) } - 1}\)

33. Udowodnij, ze najmniejsza wspólna wielokrotność \(\displaystyle{ n}\) liczb naturalnych \(\displaystyle{ a_{1} < a_{2} < a_{3} < \ldots < a_{n}}\) jest nie mniejsza od \(\displaystyle{ n \cdot a_{1}}\).

34. Wykaż, że zachodzą podzielności:

\(\displaystyle{ 5|3^{18} + 6^{17}}\)

\(\displaystyle{ 3|8^{9} - 4^{15} + 2^{32} + 16^{7}}\)

\(\displaystyle{ 19|6^{5} - 12^{3} - 24^{2}}\)

35. Wykaż przez indukcję, że:

\(\displaystyle{ 133|11^{n+1} + 12^{2n-1}}\)

36. Jeśli pewnej liczbie skreślimy ostatnią cyfrę, która jest równa \(\displaystyle{ 8}\), to liczba zmniejszy się o \(\displaystyle{ 1313}\). Jaka to liczba?

37. Dla jakich \(\displaystyle{ n}\) naturalnych liczba \(\displaystyle{ 3^{n}+7^{n}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 10}\)?

38. Pewna liczba ma cztery dzielniki, których suma wynosi \(\displaystyle{ 176}\). Znajdź tę liczbę, jeżeli wiadomo, że suma jej cyfr wynosi \(\displaystyle{ 12}\).

39. Znaleźć resztę z dzielenia \(\displaystyle{ 321^{123} - 546^{154}}\) przez \(\displaystyle{ 6}\).

40. Wyznaczyć dwie ostatnie cyfry liczby:

\(\displaystyle{ 38 \left( 199^{991} - 51^{149} \right)}\)

41. Udowodnij, że jeżeli suma wszystkich dzielników pewnej liczby naturalnej jest dwa razy większa od tej liczby, to suma odwrotności tych dzielników wynosi \(\displaystyle{ 2}\).
Ukończony. Ostatnia aktualizacja - 25.03.2005r
Dodany \(\displaystyle{ \LaTeX}\) i poprawione literówki. Ostatnia aktualizacja - 13.01.2013r Ponewor

Awatar użytkownika
tomcio1243
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 101
Rejestracja: 19 lut 2009, o 22:46
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 2 razy

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: tomcio1243 » 8 sty 2010, o 12:28

pzrydalaby sie aktualizacja ;]

oszust001
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 25 lut 2007, o 15:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Krasno
Podziękował: 1 raz

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: oszust001 » 29 lis 2010, o 21:36

ad6
\(\displaystyle{ 3^{100}-2^{150} >< = 3^{50}-2^{75} \Rightarrow (3^{50}-2^{75})(3^{50}+2^{75}) <> = 3^{50}-2^{75}\Rightarrow 3^{50}+2^{75}>1}\) czyli liczba \(\displaystyle{ 3^{100}-2^{150}}\) jest większa od \(\displaystyle{ 3^{50}-2^{75}}\)

Zahion
Moderator
Moderator
Posty: 2095
Rejestracja: 9 gru 2012, o 19:46
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa, mazowieckie
Podziękował: 139 razy
Pomógł: 503 razy

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Zahion » 12 sty 2013, o 20:40

5.
\(\displaystyle{ 10 ^{100} - 9 = (10 ^{50} + 3 )( 10^{50} - 3)}\)
\(\displaystyle{ (10 ^{50} + 3 ) \neq 1 \wedge 1 \neq 10^{50} - 3}\)

Awatar użytkownika
Ponewor
Moderator
Moderator
Posty: 2218
Rejestracja: 30 sty 2012, o 21:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 70 razy
Pomógł: 296 razy

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Ponewor » 13 sty 2013, o 20:58

Zahion, po kliknięciu w numer zadania, pojawia się temat z rozwiązaniem. I właśnie tam znajdziesz rozwiązanie identyczne z Twoim.

Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Zbiór zadań - TEORIA LICZB

Post autor: Biel124 » 18 lut 2018, o 13:18

41.
Zauważmy, że wszystkie dzielniki tej liczby należą do zbioru zawierającego ilorazy danej liczby przez każdy z dzielników. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ S}\) sumę odwrotności tych dzielników. Wtedy:
\(\displaystyle{ S= \frac{1}{a}( d_{1}, d_{2}...)=2}\)

ODPOWIEDZ