Kolejny dowód hipotezy Collatza, czy ktoś znajduje błąd?

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
matemix
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 465
Rejestracja: 10 cze 2008, o 19:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1 raz

Kolejny dowód hipotezy Collatza, czy ktoś znajduje błąd?

Post autor: matemix »

Na arxiv wisi pewien dowód hipotezy Collatza "Proof of the Collatz Conjecture", Agelos Kratimenos:
zobacz-ten-plik.pdf
(144.11 KiB) Pobrany 23 razy
Próbuję znaleźć błąd, ale też w ogóle zrozumieć co robi autor. Funkcja charakterystyczna, którą znalazł jest znana (o ile się nie pomylił przy jej wyprowadzeniu), niestety zamiast użyć typowej notacji i nazewnictwa, autor wyprowadził ją sam i wprowadził swoje zmienne, które próbuje jakoś nazywać. Nie rozumiem czym jest \(\displaystyle{ r}\) w tych jego wzorach. Pisze on, że:

We define the natural numbers \(\displaystyle{ r_{1}, r_{2}, ..., r_{k}}\), so that the number \(\displaystyle{ r_{i}}\) indicates the horizontal position (co to jest horyzontalna pozycja???) in which the i-th vertical move happened (wertykalny ruch to po prostu operacja typu \(\displaystyle{ \frac {x}{2}}\) w ciągu).

Nie tylko nie wiadomo co to jest wertykalna pozycja, ale też nie rozumiem jego przykładów:

\(\displaystyle{ 22 \xrightarrow[r_{1} = 0]{k=1} 11 \xrightarrow[]{n=1} 17 \xrightarrow[]{n=2} 26 \xrightarrow[r_{2} = 2]{k=2} 13}\)

\(\displaystyle{ 5 \xrightarrow[]{n=1} 8 \xrightarrow[r_{1}=1]{k=1} 4 \xrightarrow[r_{2}=1]{k=2} 2 \xrightarrow[r_{3} = 1]{k=3} 1}\)

Gdybym to wiedział, to może mógłbym zrozumieć ten fragment (kilka linijek pod Lemma 3.1):

We can use the last relation to deduce a restriction for \(\displaystyle{ r_{i}}\)’s. Specifically \(\displaystyle{ r_{i} \le n}\) and replacing \(\displaystyle{ k}\) with \(\displaystyle{ i}\) yields:

\(\displaystyle{ r_{i} < \frac {i}{\log_{2}(3)-1}}\)

który wydaje mi się podejrzany. Nie rozumiem dlaczego autor sobie to tak zastępuje, ale nie rozumiem do końca czym jest \(\displaystyle{ r_{i}}\). Jeśli gdzieś jest błąd, to stawiam, że tam. A może nie warto tracić czasu ma kolejny "dowód"...

Dodano po 43 minutach 10 sekundach:
Ok, już rozumiem czym jest \(\displaystyle{ r}\). Przy każdym dzieleniu w ciągu tworzymy nowe \(\displaystyle{ r_{i}}\) i zliczamy liczbę operacji typu \(\displaystyle{ 1,5 \cdot x + 0,5}\), które jak dotychczas wystąpiły w ciągu. To by się chyba zgadzało, tj. ten wzór, który wyprowadził działa poprawnie.

Nierówność też się zgadza. \(\displaystyle{ k}\) zawsze będzie większe lub równe \(\displaystyle{ i}\), podobnie zachodzi \(\displaystyle{ r_{i} \le n}\).

Nie widzę zatem błędu. Ale po prostu nie wierzę, że ktoś kto trochę pokombinował z tym wzorem udowodnił, że nie może być trajektorii rozbieżnych do nieskończoności (bo na razie skupiam się tylko na tym aspekcie - lemma 3.3).

Dodano po 1 godzinie 23 minutach 6 sekundach:
Dalej rozkminiam tą podejrzaną nierówność. Autor po akapicie "The inequality can be solved for n:" rozpatruje przypadek:

\(\displaystyle{ 2^{n+k} > 3^{n}}\)

Ale tak naprawdę on chce w swoim układzie tych dwóch warunków poniżej uwzględnić tę nierówność ze znakiem przeciwnym:

\(\displaystyle{ 2^{n+k} < 3^{n}}\)

Nie wiem dlaczego od razu tego tak nie zapisał. W efekcie od zmienia znak tej nierówności dopiero później. Najpierw znajduje nierówność:

\(\displaystyle{ r_{i} < \frac {i}{\log_{2}(3)-1}}\)

A później pod klamrą z dwoma warunkami zmienia znak (od początku potrzebny mu jest przypadek ze znakiem przeciwnym). Tyle, że jeśli weźmiemy nierówność ze znakiem przeciwnym:

\(\displaystyle{ r_{i} > \frac {i}{\log_{2}(3)-1}}\)

To, gdy zamiast \(\displaystyle{ r_{i}}\) wstawimy tam z powrotem \(\displaystyle{ n}\) (autor je zamienił, gdy nierówność była z odwrotnym znakiem), może się okazać, że nierówność nie będzie spełniona. Jeśli wychodzimy od nierówności:

\(\displaystyle{ n > \frac {i}{\log_{2}(3)-1}}\)

to moglibyśmy tam wstawić zamiennie tylko liczbę \(\displaystyle{ l \ge n}\), zamiast \(\displaystyle{ n}\). Wówczas mamy pewność, że nierówność nadal będzie spełniona. Natomiast \(\displaystyle{ r_{i} \le n}\). I tu jest chyba nieusuwalny problem.
ODPOWIEDZ