Gęstość liczb pierwszych

[Brombal]

Miałem tu podobny temat ale inaczej podszedłem do zagadnienia.
Miarą prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p(x)}\), że liczba \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\) jest pierwsza, może być proporcja \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x) }{x} }\).
Jak widać dotyczy to prawdopodobieństwa w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\).
W rzeczywistości branie pod uwagę całego przedziału fałszuje wyniki.
Dobrze to widać gdy policzymy prawdopodobieństwa w dolnej połówce przedziału \(\displaystyle{ \frac{ \pi( \frac{x}{2} ) }{ \frac{x}{2} } }\) oraz górnej \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x)- \pi( \frac{x}{2} )}{ \frac{x}{2} } }\) Jak widać prawdopodobieństwa są różne w tej samej wielkości przedziału.
Nie musimy ograniczać się do połówki (liczba \(\displaystyle{ 2}\)) a weźmy liczbę \(\displaystyle{ k \le x}\).
\(\displaystyle{ \pi (x)= \frac{x}{ \ln(x) } }\)
Wynika z tego, że \(\displaystyle{ p(x)= \lim_{ k\to x }\left( \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x- \frac{x}{k} }{\ln(x- \frac{x}{k}) } \right) = \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x-1}{\ln(x-1)} }\)
Prawdopodobieństwo pierwszości liczby \(\displaystyle{ x}\) mówi nam o spodziewanej odległości pomiędzy liczbami pierwszymi w okolicy \(\displaystyle{ x}\).
Czyli średnia odległość \(\displaystyle{ g_{x} }\)pomiędzy liczbami pierwszymi w zależności od \(\displaystyle{ x}\) powinna wynieść \(\displaystyle{ \frac{1}{p(x)} }\).

[Janusz Tracz]

Kilka uwag (no offence) bo aktualnie post jest nieczytelny ale może ich poprawa pozwoli na sensowne odpowiedzi w temacie:

Miarą prawdopodobieństwa \(\displaystyle{ p(x)}\), że liczba \(\displaystyle{ x}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\) jest pierwsza, może być proporcja \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x) }{x} }\).

Nie ma czegoś takiego jak miara prawdopodobieństwa jest prawdopodobieństwo (które jest miarą z definicji) albo jest miara zdarzenia (jeśli miara jest probabilistyczna to mamy prawdopodobieństwo zdarzenia). Te uwagi to jedynie semantyka ale poważniejszy problem to, że pewnie na myśli masz coś innego od tego co piszesz. Liczba \(\displaystyle{ x}\) jest tu ustalona i nie pytasz o p-stwo, że \(\displaystyle{ x}\) jest pierwszy tylko, że losowa liczba z \(\displaystyle{ [1,x]}\) jest pierwsza (oczywiście tego się jedynie domyślam bo Twój opis pyta coś innego). I na koniec nie może być tylko po prostu jest proporcja \(\displaystyle{ \pi(x)/x}\).

Jak widać dotyczy to prawdopodobieństwa w przedziale \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\).

To zdanie jest dziwne.

Dobrze to widać gdy policzymy prawdopodobieństwa w dolnej połówce przedziału \(\displaystyle{ \frac{ \pi( \frac{x}{2} ) }{ \frac{x}{2} } }\) oraz górnej \(\displaystyle{ \frac{ \pi(x)- \pi( \frac{x}{2} )}{ \frac{x}{2} } }\) Jak widać prawdopodobieństwa są różne w tej samej wielkości przedziału.

O ile przedział się ładnie dzieli na \(\displaystyle{ 2}\). Poza tym nie wiem co ładnie tu widać bo nie wiem o co chodziło z fałszowaniem wyniku.

\(\displaystyle{ \pi (x)= \frac{x}{ \ln(x) } }\)

Nie.

Wynika z tego, że \(\displaystyle{ p(x)= \lim_{ k\to x }\left( \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x- \frac{x}{k} }{\ln(x- \frac{x}{k}) } \right) = \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x-1}{\ln(x-1)}}\)

Nie:

• z tego wynika to znaczy z czego? Z tego co powyżej logicznie wynika wszystko ale praktycznie nic bo powyżej to był fałszywy. Mało tego przytoczona równość nie wynika z tego co powyżej (nawet, gdy stosuję życzliwą interpretację).

• nie rozumiem sensu tej granicy. To, że \(\displaystyle{ k \rightarrow x}\) oznacza praktycznie to, że \(\displaystyle{ k=x}\). Mieszasz moim zdaniem ciągły/analityczny charakter teorii liczb z jej dyskretną stroną. Aktualne rozważania są dyskretne/skończone. Potem ewentualnie jeśli będziesz chciał badać zachowania asymptotyczne dla dużych \(\displaystyle{ x}\) itp. to się skorzysta z analitycznej teorii liczb.

Więc po prostu

\(\displaystyle{ p(x)= \frac{x}{\ln(x)} - \frac{x-1}{\ln(x-1)}.}\)

I końcówki nie rozumiem. Bo już się zgubiłem kompletnie i nie jestem pewien czy to \(\displaystyle{ p}\) to jest jakaś nowa funkcja czy to jest to prawdopodobieństwo.

[Brombal]

Ja wiedziałem, ze tak będzie - nie wziąłem śpiworka.
Praktycznie z całą krytyką zgadzam się w pełni.
Wiem, że \(\displaystyle{ \pi (x) > \frac{x}{\ln(x)} }\) ale komplikowało to rozważania .
To że liczby pierwsze rozmieszczone są w sposób niehomogeniczny jest oczywiste.
Gdybyśmy mieli oszacować (obliczyć?) prawdopodobieństwo \(\displaystyle{ p _{x} }\) tego, że liczba wylosowana z przedziału \(\displaystyle{ \left\langle 1, x\right\rangle }\), jest pierwsza skorzystamy ze wzoru \(\displaystyle{ p _{x} = \frac{ \pi(x)}{x} }\).
Tego typu podejście dotyczy całego przedziału i nie mówi prawdy o tym ile wynosi to prawdopodobieństwo na górnym krańcu przedziału...
Stąd takie rozważania. Postaram się zrobić jakiś program który porówna oba wzory z rzeczywistością. jeszcze to przemyślę .

[Janusz Tracz]

To że liczby pierwsze rozmieszczone są w sposób niehomogeniczny jest oczywiste.

Polemizował bym. Nie wiem jak matematycznie definiujesz tu homogeniczność ale dla dużych \(\displaystyle{ x}\) mamy

\(\displaystyle{ \frac{\# \left\{ \text{liczby pierwsze mniejsze od } x \right\} }{\# \left\{\text{liczby pierwsze pomiędzy }x, \text{ a } 2x \right\} } \approx 1+ \frac{2 \ln 2}{\ln x}, }\)

w zasadzie sprowadza się to do słabszego stwierdzenia, że

\(\displaystyle{ \# \left\{ \text{liczby pierwsze mniejsze od } x \right\} \approx \# \left\{\text{liczby pierwsze pomiędzy }x, \text{ a } 2x \right\}. }\)

A to raczej znaczy dokładnie coś przeciwnego do potocznie rozumianej niehomogeniczności? Należy jednak uważać ze znaczkiem \(\displaystyle{ \approx }\) bo: badając różnicę różnicę okazuje się, że

\(\displaystyle{ \# \left\{ \text{liczby pierwsze mniejsze od } x \right\} - \# \left\{\text{liczby pierwsze pomiędzy }x, \text{ a } 2x \right\} \approx \frac{2 x \ln (2)}{\ln ^2(x)}}\)

co oznacza, że w pierwszej połowie przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1,2x\right] }\) jest dużo więcej liczb pierwszych ale nie relatywnie dużo więcej bo jednak iloraz dąży do \(\displaystyle{ 1.}\) Póki co widzę jedyną ciekawą (moim zdaniem) kontynuację tych rozważań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jeśli losowo wybrana liczba \(\displaystyle{ k}\) z przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1,2x\right] }\) już jest pierwsza to należy do \(\displaystyle{ \left[ 1,x\right]}\). I chyba to miałeś na myśli? I korzystając z prawdopodobieństwa warunkowego bodź nie jak kto lubi otrzymujemy

\(\displaystyle{ \mathscr{P}(k\in [1,x] \, \big| \, k\in\mathbb{P} \cap [1,2x] )= \frac{\pi(x)}{\pi(2x)} \approx \mathbf{\frac{1}{2}}+ \frac{\ln 2}{2\ln x}. }\)

A to oznacza, że dla dużych \(\displaystyle{ x}\) jeśli \(\displaystyle{ k\in \left[ 1,2x\right] }\) okaże się być pierwsza to jest równie prawdopodobne, że pochodzi z \(\displaystyle{ \left[ 1,x\right] }\) jak to, że pochodzi z \(\displaystyle{ \left[ x,2x\right] }\). To rozumowanie łatwo uogólnić. Biorąc \(\displaystyle{ \alpha \in (0,1) }\) możemy się spytać o

\(\displaystyle{ \mathscr{P}(k\in [1, \alpha 2x] \, \big| \, k\in\mathbb{P} \cap [1,2x] )= \frac{\pi( \alpha x)}{\pi(2x)} \approx \alpha . }\)

Co interpretował bym dokładnie jako homogeniczność. Innymi słowy na przykładzie: jeśli \(\displaystyle{ 2x=10^{100}}\) i wybierasz losowo liczbę \(\displaystyle{ k}\) która okazuje się pierwsza. Jakie jest prawdopobieństwo, że jest powiedzmy w (mówiąc kolokwialnie) pierwszych \(\displaystyle{ 32\%}\) przedziału \(\displaystyle{ \left[ 1,10^{100}\right] }\) jest \(\displaystyle{ k}\). To jest

\(\displaystyle{ \mathscr{P}(k\in [1, 32\% \times 2x] \, \big| \, k\in\mathbb{P} \cap [1,2x] ) \approx 32\%. }\)

PS przez \(\displaystyle{ \# A}\) rozumiem mnogość zbioru \(\displaystyle{ A}\).

PPS jeśli \(\displaystyle{ a_n/b_n\to 1}\), gdy \(\displaystyle{ n\to \infty}\) to \(\displaystyle{ a_n \approx b_n}\).

PPPS jeśli masz na myśli inny sens homogeniczności znany z literatury/artykułów to proszę o referencję.

[Brombal]

Faktycznie. Przebywanie na "zadupiu" liczb pierwszych, czyli w zakresie do paru milionów cyfr, może sugerować niehomogeniczność. Dalej wyglądać to może inaczej.
O niehomogeniczności może świadczyć to, że w przedziale od \(\displaystyle{ 1}\) do \(\displaystyle{ x}\) jest więcej liczb pierwszych niż w przedziale od \(\displaystyle{ x}\) do \(\displaystyle{ 2x}\)