Interpretacja dziwnego atraktora

[matemix]

Badając pewnie funkcje rekurencyjne natknąłem się na pewien atraktor, fraktal - choć nie jestem pewien, czy to co mam wyczerpuje definicję tych pojęć. Oto jego wykres, utworzony z \(\displaystyle{ 2^{20}}\) par liczb (\(\displaystyle{ 524288}\) punktów), każda liczba jest liczbą 21-bitową. Podzieliłem wszystkie współrzędne przez \(\displaystyle{ 2^{21}}\), tak aby mieć wykres znormalizowany do przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\).

fraktal1.png (10.87 KiB) Przejrzano 202 razy

A oto wykres tylko dla \(\displaystyle{ 2^{9}}\) par liczb (\(\displaystyle{ 512}\) puntków), każda liczba jest liczbą 10-bitową, bez normalizacji (bez dzielenia przez \(\displaystyle{ 2^10}\)):

Wykres jest identyczny, niezależnie ile punktów użyjemy do jego utworzenia. Wszystkie punktu grupują się wokół tych struktur. To co chcę rozstrzygnąć, to co się dzieje w nieskończoności z takim fraktalem (po znormalizowaniu go do przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\)). Ale interesują mnie tylko wybrane liczby rzeczywiste. Mianowicie tylko takie utworzone według następującej procedury: weź dowolną skończoną liczbę binarną (z przedziału liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ [0,1)}\), bo tylko takie rozpatrujemy), a następnie dopisz na jej początku nieskończenie długi ciąg \(\displaystyle{ 010101010101...}\). Liczbą zdefiniowaną jako \(\displaystyle{ 0,010101010101}\) będzie \(\displaystyle{ 0,66(6)}\). Jednak w jej otoczeniu będzie leżało nieskończenie wiele innych liczb zdefiniowanych według powyższej procedury.

Wracając do fraktala, chcę wiedzieć, czy dla jakiejś wartości (współrzędnej \(\displaystyle{ y}\)) utworzonej według powyższej procedury (czyli rozpatrujemy liczby tylko z otoczenia \(\displaystyle{ 0,66(6)}\)) odpowiada taka współrzędna \(\displaystyle{ x}\), która jest większa od zera. Jeśli dobrze intepretuję ten fraktal, to nie ma takiej możliwości. Wszystkie tego rodzaju współrzędne \(\displaystyle{ y}\), zdefiniowane według tej procedury odpowiadają współrzędnym \(\displaystyle{ x}\) leżącym w otoczeniu \(\displaystyle{ 0}\) .

Czy na podstawie takiej analizy mogę twierdzić, że nie znajdziemy żadnego \(\displaystyle{ y}\) zdefiniowanego według tej procedury, któremu odpowiada \(\displaystyle{ x}\) taki, że powiedzmy proporcja jedynek do zer w rozwinięciu binarnym takiej liczby wynosi \(\displaystyle{ 1,5}\)? Czy może tego rodzaju analiza wystarcza jedynie do stwierdzenia, że gęstość takich \(\displaystyle{ x}\) jest zerowa, ale nie znaczy to, że nie ma żadnego takiego \(\displaystyle{ x}\)? Swoją drogą nie jestem pewien gdzie na osi \(\displaystyle{ x}\) będą takie liczby, które mają proporcje jedynek do zer \(\displaystyle{ 1,5}\), wydaje się, że gdzieś daleko od zera. Ale, jeśli będzie nieskończenie wiele takich liczb i mogą być one infinitezymalnie bliskie zeru, to raczej nie można obronić takiego twierdzenia.

Ogólnie interesuje mnie czy jakiemukolwiek \(\displaystyle{ y}\) wygenerowanemu według tej procedury może odpowiadać \(\displaystyle{ x}\) taki, który ma proporcje jedynek do zer większe niż \(\displaystyle{ 1}\). Wygląd tego fraktala sugeruje, że wszystkie \(\displaystyle{ x}\) odpowiadające tym szczególnym \(\displaystyle{ y}\) są w otoczeniu zera. Więc wydaje się, że rozstrzygnąć należy, czy w otoczeniu zera mogą leżeć takie liczby rzeczywiste, które mają w rozwinięciu binarnym więcej jedynek, niż zer.

Podejrzewam, że można by wykazać, że w otoczeniu zera na osi \(\displaystyle{ x}\) są tylko takie liczby, które mają proporcje jedynek do zer \(\displaystyle{ \approx 0}\). Ale, czy można wykazać, że nie ma tam żadnej liczby, która ma te proporcje większe niż \(\displaystyle{ 1}\), czy może znów można tylko pokazać, że gęstość takich liczb jest zerowa?

[Jan Kraszewski]

Mianowicie tylko takie utworzone według następującej procedury: weź dowolną skończoną liczbę binarną (z przedziału liczb rzeczywistych \(\displaystyle{ [0,1)}\), bo tylko takie rozpatrujemy), a następnie dopisz na jej początku nieskończenie długi ciąg \(\displaystyle{ 010101010101...}\).

"Bardzo długi" czy "dowolnie długi, ale skończony" to nie to samo, co "nieskończenie długi". Ta procedura w tej formie nie definiuje liczb.

JK

[matemix]

A gdyby mówić o liczbach p-adycznych, takich, że:

\(\displaystyle{ (01)..._{2}}\)

Gdzie trzy kropki to nasz skończony ciąg zer i jedynek. Bo de facto generuję te ciągi na liczbach naturalnych, wszystko dzielę przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\), żeby jakoś ułatwić sobie interpretację i nie mówić, że fraktal znajduje się w przedziale liczb od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2^{ \infty }}\), ale tak naprawdę to tak jest. Więc może mówmy o liczbach 2-adycznych?

Musiałbym trochę przebudować mój post, żeby to miało sens, ale wszelkie te pytania można zadać, gdyby zastąpić liczby rzeczywiste 2-adycznymi.

Dodano po 2 godzinach 48 minutach 32 sekundach:
Oczywiście, gdy tworzę taki wykres, nie biorę liczb z nieskończonym rozwinięciem, zawsze biorę ileś par takich liczb, ze skończoną liczbą bitów. Ale nieważne ile bitów mają rozpatrywane liczby, zawsze dostaję na końcu taki fraktal (różni się tylko liczba punktów, które go tworzą). Gdy liczba cyfr w takich 2-adycznych liczbach będzie nieskończona, fraktal będzie wyglądał tak samo. A ja właśnie chcę rozpatrywać przypadek, gdy mamy nieskończoność na skali.

Dodano po 15 godzinach 15 minutach 38 sekundach:
To pytanie o rozmieszczenie liczb p-adycznych na osiach tego wykresu prowadzi do pewnych nietypowych wniosków. Przykładowo na osi y znajdują się tylko takie liczby, które zaczynają się od \(\displaystyle{ 1}\):

\(\displaystyle{ 1..._{2}}\)

Dlatego wszystkie wartości zaczynają się od \(\displaystyle{ 0,5}\) na tym znormalizowanym wykresie. Oczywiście mówienie o \(\displaystyle{ 1}\) na samych początku nieskończonej liczby 2-adycznej znów może nie mieć do końca sensu. Ale tak to wygląda w kolejnych iteracjach, a jeśli chcemy mówić o tym co się dzieje w nieskończoności, to trzeba przyznać, że jest tam jedynka, a za nią nieskończony ciąg cyfr.

Liczba o proporcji jedynek do zer bliskiej zeru może być zatem na osi \(\displaystyle{ x}\) po prawej stronie, wystarczy, że ma jedynkę z przodu, następnie może mieć nieskończenie wiele zer. Pytanie, czy liczba o proporcji jedynek do zer większej niż \(\displaystyle{ 1}\) może być dowolnie blisko zera na osi \(\displaystyle{ x}\). Wygląda na to, że nie jest to możliwe. Jeśli skalę tworzą liczby od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\), to, żeby liczba była blisko \(\displaystyle{ 0}\) musi mieć jako najbardziej znaczące bity same zera, zaś żeby być bardzo blisko zera, to bitów równych \(\displaystyle{ 0}\) musi być bardzo dużo - liczba pozostałych bitów do liczby bitów zerowych na początku liczby musi dążyć do zera. To wyklucza możliwość, by w otoczeniu zera mogła istnieć liczba, której proporcja jedynek do zer jest większa niż \(\displaystyle{ 1}\).