Liczby naturalne znormalizowane do przedziału 0-1

[matemix]

Nie wiem jak się zabrać do tego od formalnej strony, ani nawet jakich pojęć się używa do rozważania takich rzeczy, ale mam następujący problem.

Rozważmy liczby naturalne od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 2^{n}-1}\). Znormalizujmy się tak, aby rozpatrywać liczby rzeczywiste od \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\). W tym celu dzielimy każdą liczbę przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\). Niech \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności.

Jeśli rozważymy liczby, które w zapisie binarnym będą miały więcej jedynek, niż zer, czy jest możliwe, że któraś z takich liczb trafi do przedziału \(\displaystyle{ (0,0.5]}\)?

Jeśli rozważymy sobie takie ciągi, że najpierw występuje tam jakiś dowolny skończony ciąg zer i jedynek, a następnie tylko 10101010101... w nieskończoność, to, czy można powiedzieć gdzie lub w okolicy jakiej liczby rzeczywistej będą się one znajdować? Wydaje mi się, że będzie to \(\displaystyle{ 0.5}\), ale nie wiem jak się do tego zabrać i oczywiście nie wiadomo, czy będzie to w ogóle jedna liczba.

[Dasio11]

Jeśli rozważymy liczby, które w zapisie binarnym będą miały więcej jedynek, niż zer, czy jest możliwe, że któraś z takich liczb trafi do przedziału \(\displaystyle{ (0,0.5]}\)?

Tak, bo w tym przedziale leży każda niezerowa liczba, której zapis dwójkowy zaczyna się od \(\displaystyle{ 0{,}0\ldots}\)

Jeśli rozważymy sobie takie ciągi, że najpierw występuje tam jakiś dowolny skończony ciąg zer i jedynek, a następnie tylko 10101010101... w nieskończoność, to, czy można powiedzieć gdzie lub w okolicy jakiej liczby rzeczywistej będą się one znajdować?

Nie można - takie rozwinięcie dwójkowe mają dokładnie liczby postaci \(\displaystyle{ \frac{k}{3 \cdot 2^n}}\), gdzie \(\displaystyle{ k, n \in \NN}\) i \(\displaystyle{ 3 \nmid k}\). W szczególności takie liczby leżą gęsto w przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\).

Precyzyjnie położenie liczby można określić na podstawie początkowych, a nie końcowych cyfr jej rozwinięcia dwójkowego. Oczywiście im więcej cyfr, tym większa precyzja.

[matemix]

Przez początkowe cyfry rozumiesz najbardziej znaczące bity?

A wyobraźmy sobie następują procedurę: wybieramy sobie dowolny skończony ciąg zer i jedynek, a następnie przed ten ciąg, jako najbardziej znaczące bity dopisujemy nieskończenie wiele \(\displaystyle{ 01010101...}\). Możemy mówić o iterowaniu w ten sposób wartości liczby rzeczywiste z przedziału \(\displaystyle{ 0}\) do \(\displaystyle{ 1}\), poprzez dzielenie za każdym razem wyniku przez \(\displaystyle{ 2^{n}}\), gdzie \(\displaystyle{ n}\) dąży do nieskończoności, razem z kolejno dopisywanymi bitami (liczba bitów jest równa \(\displaystyle{ n}\)). Tak naprawdę o taki przypadek mi chodziło, chyba nie opisałem tego właściwie w pierwszym poście.

Czy możemy powiedzieć, że takie liczby leżą w otoczeniu liczby \(\displaystyle{ 0,66(6)}\)?

[a4karo]

A możesz powiedzieć jaką liczbę będzie reprezentować twój potworek `01010101....110101111`?

[matemix]

No właśnie nie mogę. Nie wiem, czy to ma sens. Ale z takim problemem mam do czynienia. Generuję według pewnej procedury takie właśnie liczby. Najpierw generuję jakieś skończone ciągi zer i jedynek, a później dopełniam je ciągami \(\displaystyle{ 01010101...}\). I w ten sposób tworzę liczby 10-bitowe, 20-bitowe, n-bitowe i rozpatruję \(\displaystyle{ n}\) dążące do nieskończoności (a później dzielę te liczby przez \(\displaystyle{ 2^n}\), żeby mieć liczby z przedziału \(\displaystyle{ [0,1)}\)). Przy czym w większości te skończone ciągi zer i jedynek są znacznie krótsze niż \(\displaystyle{ n}\). Gdy te liczby umiejscowię sobie na osi, to leżą one właśnie w otoczeniu \(\displaystyle{ 010101010...0101}\), czyli \(\displaystyle{ 0,66(6)}\).

[Jan Kraszewski]

No właśnie nie mogę. Nie wiem, czy to ma sens. Ale z takim problemem mam do czynienia. Generuję według pewnej procedury takie właśnie liczby. Najpierw generuję jakieś skończone ciągi zer i jedynek, a później dopełniam je ciągami \(\displaystyle{ 01010101...}\)

Według mnie to wyraźnie nie ma sensu - w jaki sposób chcesz "dopisać" nieskończony ciąg zer i jedynek PRZED ciągiem skończonym i w dodatku twierdzić, że reprezentuje to liczbę? Zapis \(\displaystyle{ 010101010...0101}\) (gdzie kropki oznaczają nieskończenie wiele zer i jedynek) ma dokładnie tyle sensu, co zapis \(\displaystyle{ 0,(01)0101}\), czyli ani trochę.

Nie można "przejść do nieskończoności i wrócić", a mniej więcej to próbujesz robić.

JK

[matemix]

A gdyby rozpatrywać to jako liczby 2-adyczne? Czyli, jeśli nasz skończony ciąg to \(\displaystyle{ 111}\) moglibyśmy zapisać taką liczbę jako:

\(\displaystyle{ (01)111_{2}}\)

Jeśli takie liczby będziemy dzielić przez \(\displaystyle{ 2^n}\):

\(\displaystyle{ \frac {01111}{10000} = 0,9375}\)

\(\displaystyle{ \frac {0101111}{1000000} = 0,734375}\)

\(\displaystyle{ \frac {010101111}{100000000} = 0,68359375}\)

I tak dalej, to skończymy z jakimiś liczbami. Pewnie można powiedzieć, że każda z nich będzie równa \(\displaystyle{ 0,66(6)}\). Ale może powinniśmy mówić, że one będą w otoczeniu \(\displaystyle{ 0,66(6)}\)? W zapisanie 2-adycznym widać, że nie są to te same liczby. Z drugiej strony nie mówimy o liczbach 2-adycznych, tylko o czymś takim \(\displaystyle{ \frac {(01)111_{2}}{2^{ \infty }}}\). Może to należałoby traktować tak samo jak \(\displaystyle{ 0,66(6)}\).

[Dasio11]

Jeśli masz na myśli, że dla każdego skończonego ciągu \(\displaystyle{ s}\) zer i jedynek zachodzi

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (0{,} (01)^n s)_{(2)} = \frac{1}{3}}\),

to jest to stwierdzenie prawdziwe.