3+3

[mol_ksiazkowy]

Rozwiązać równania i układy równań (w zbiorze liczb całkowitych):

1. \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2021}+ \frac{x-2}{2022}+ \frac{x-3}{2023}=3 }\)

2. \(\displaystyle{ (u-w)^2=u+w }\)

3. \(\displaystyle{ \frac{1}{a+5}+ \frac{1}{b-3} =1 }\)

4. \(\displaystyle{ \begin{cases} x-yz=11 \\xz+y=13 \end{cases} }\)

5. \(\displaystyle{ \begin{cases} ax+by+cxy=a+b+c \\ by+cz+ayz=a+b+c \\ cz+ax+bzx=a+b+c \end{cases} }\)

6. \(\displaystyle{ \begin{cases} a+b+c= x+y \\ a^3+b^3+c^3= x^3+y^3 \\ a+c=2b \end{cases} }\)

[Janusz Tracz]

1:    

Zakładam, że chodziło o \(\displaystyle{ \frac{x-1}{2021}+ \frac{y-2}{2022}+ \frac{z-3}{2023}=3}\). Wtedy mamy liniowe równanie diofantyczne. Mamy więc

\(\displaystyle{ 4090506 x+4088483 y+4086462 z=24825264736.}\)

Biorąc \(\displaystyle{ \text{mod } 2021}\), \(\displaystyle{ \text{mod } 2022}\) oraz \(\displaystyle{ \text{mod } 2023}\) powyższe równanie dostaniemy, że

\(\displaystyle{ x=1+2021m\quad \& \quad y= 2+2022n \quad \& \quad z=3+2023k }\)

dla pewnych \(\displaystyle{ m,n,k\in\ZZ}\). Wstawiając \(\displaystyle{ x,y,z}\) do równania na początku przekonujemy się, że \(\displaystyle{ m+n+k=3}\) to warunek który mysi być spełniony aby zaszła równość. To daje pełną charakteryzację rozwiązań.

3:    

Wystarczy pokazać, że równanie diofantyczne \(\displaystyle{ 1/x+1/y=1}\) ma jedno trywialne rozwiązanie. Po przekształceniu ułamków dostaniemy, że \(\displaystyle{ (x-1)(y-1)=1}\) zatem \(\displaystyle{ x=y=0}\) (co odpada ze względu na mianowniki) oraz \(\displaystyle{ x=y=2}\) jako, że \(\displaystyle{ 1=1 \times 1}\) lub \(\displaystyle{ 1=(-1) \times (-1)}\) to jedyne rozkłady \(\displaystyle{ 1}\) w \(\displaystyle{ \ZZ}\). Mając to stwierdzamy, że \(\displaystyle{ a=-3}\) oraz \(\displaystyle{ b=5}\) to jedyne rozwiązania.

[kerajs]

1:    

\(\displaystyle{ \frac{x-1}{2021}+ \frac{x-2}{2022}+ \frac{x-3}{2023}=3 }\)
Lewa strona jest rosnąca, więc równanie ma tylko jedno rozwiązanie. Skoro rozwiązanie ma być liczbą całkowitą, to wystarczy sprawdzić, że dla \(\displaystyle{ x=2023}\) lewa strona jest mniejsza od 3, a dla \(\displaystyle{ x=2024}\) lewa strona jest większa od 3. Równanie nie ma całkowitoliczbowego rozwiązania.

2:    

Sprawdzając wyróżnik równania \(\displaystyle{ u^2-(2w+1)u+w(w-1)=0}\) zauważyłem, że rozwiązania są liczbami trójkątnym: \(\displaystyle{ (u=T_{k+1} \wedge w=T_k) \vee (u=T_{k} \wedge w=T_{k+1}) \ \ \ \ dla \ \ k \in N}\) .
Wyjątkiem jest \(\displaystyle{ u=w=0. }\)

3:    

Z egipskich tablic wiadomo, że jedyna suma dwóch egipskich ułamków dająca jeden to \(\displaystyle{ \frac{1}{2} +\frac{1}{2}=1 }\) więc \(\displaystyle{ a=-3 \wedge b=5}\)

4:    

\(\displaystyle{ x=11+yz \ \ \Rightarrow \ \ y= \frac{13-11z}{z^2+1} }\)
y jest całkowity tylko dla \(\displaystyle{ z \in \left\{ -12,-2,-1,0,1,3\right\} }\)

[Janusz Tracz]

5 oraz 6 wymagają chyba doprecyzowania. Nie jest zupełnie jasne czy \(\displaystyle{ a,b,c}\) są tu parametrami i szukamy naturalnych \(\displaystyle{ x,y,z}\)
tak by równości zachodziły. Czy \(\displaystyle{ a,b,c}\) też mają być całkowite?

5 trywialne rozwiązanie:    

\(\displaystyle{ x=y=z=1}\) działa dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b,c}\).