Rozwiązać układ kongruencji

[xkatekx]

\(\displaystyle{ \begin{cases} 19x\equiv 12 (\bmod 7) \\ 36x\equiv 38 (\bmod 11) \\ 57x\equiv 30 (\bmod 13)\end{cases} }\)

[mol_ksiazkowy]

np środkową kongruencję można zredukować do \(\displaystyle{ 3x \equiv 5\ (\bmod 11) }\) a tę mnożac przez 4 do \(\displaystyle{ x \equiv 9 \ (\bmod 11) }\) itd.

[xkatekx]

np środkową kongruencję można zredukować do \(\displaystyle{ 3x \equiv 5\ (\bmod 11) }\) a tę mnożac przez 4 do \(\displaystyle{ x \equiv 9 \ (\bmod 11) }\) itd.

Czy to będzie tak?
\(\displaystyle{ \begin{cases} 19x≡12 (\bmod7) \\ 36x≡38(\bmod 11) \\ 57x≡30(\bmod 13) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x≡1(\bmod7) \\ x≡9(\bmod11)\\ x≡6(\bmod 13) \end{cases} \\7k_1+1≡9(\bmod 11) \\ 7k_1≡8(\bmod11)\\7^{-1} \cdot 7k_1≡8 \cdot 7^{-1}\\k_1≡8 \cdot 8(\bmod 11)\\k_1≡9(\bmod 11)\\k_1=11k_2+9\\ x=7(11k_2+9)+1=77k_2+64\\ 77k_2+64≡9(\bmod 13)\\77k_2≡7(\bmod13)\\77^{-1} \cdot 77k_2≡7 \cdot 77^{-1}(\bmod13)\\k_2≡7 \cdot 12(\bmod13)\\k_2≡1(\bmod 13)\\k_2=13k_3+1(\bmod13)\\x=77(13k_3+1)+64=1001k_3+77+64=1001k_3+141\\x=141}\)

Znalazłam też coś takiego:
\(\displaystyle{ N_1=11 \cdot 13=143\\M_1≡143^{-1}≡5(mod7)}\)
\(\displaystyle{ N_2=7 \cdot 13=91\\M_2≡91^{-1}≡4(mod11)}\)
\(\displaystyle{ N_3=7 \cdot 11=77\\M_3≡77^{-1}≡12(mod13)}\)
\(\displaystyle{ x≡1 \cdot 143 \cdot 5+9 \cdot 91 \cdot 4+6 \cdot 77 \cdot 12≡9535≡526(mod 7 \cdot 11 \cdot 13)}\)